Equação de Lane-Emden

Em astrofísica, a equação de Lane-Emden é uma equação diferencial ordinária que modeliza a estrutura interna de um sistema termodinâmico descrito pela equação de estado de um fluido politrópico auto-gravitante, ou seja, sujeito somente a influência de sua própria massa. A equação é obtida a partir da hipótese adicional de simetria esférica, que exclui as situações em que os sistemas possuem movimento de rotação.

Essa equação determina o perfil de pressão, densidade e temperatura em alguns casos de interesse físico, como o gás ideal e o gás degenerado de férmions à temperatura nula nas situações não-relativística e ultra-relativística. Esses modelos permitem uma descrição simples de anãs brancas e outros astros compactos, nos quais a pressão de degenerescência tem um papel importante.

A equação de Lane-Emden recebe o seu nome em homenagem aos astrofísicos Jonathan Lane e Robert Emden, sendo Lane quem primeiro propôs esta equação em 1870. Lord Kelvin e A. Ritter fizeram contribuições importantes ao estudo dessa equação no século XIX, assim como Ralph H. Fowler e Subrahmanyan Chandrasekhar nos anos 1930.

Apresentação

A equação diferencial de Lane-Emden é dada por:

• ${\displaystyle {\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\frac {d}{d\zeta }}\left({\zeta ^{2}{\frac {d\theta }{d\zeta }}}\right)+\theta ^{n}=0}$

onde ${\displaystyle \zeta \,}$ é o raio reescalonado:

${\displaystyle \zeta =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

e a densidade ${\displaystyle \rho \,}$ é dada como.

${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}\,}$

os subescritos "c" referem-se aos valores de referência da adimensionalização e são normalmente escolhidos os valores encontrados no centro do politropo. A condição de simetria esférica implica necessariamente que a derivada é nula em ${\displaystyle r=0\,}$:

• ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dr}}=0\,}$

O valor de ${\displaystyle \theta \,}$ em ${\displaystyle r=0\,}$, pode ser obtido a partir do valor da densidade:

${\displaystyle \theta (0)=\left(\rho (0)/\rho _{c}\right)^{1/n}\,}$ é dado

No caso mais comum em que escolhe-se ${\displaystyle \rho _{c}=\rho (0)\,}$, temos:

• ${\displaystyle \theta (0)=1\,}$

Contexto físico

Em um fluido politrópico, a pressão P está relacionada com a densidade ${\displaystyle \rho \,}$ por uma equação de estado da forma:

${\displaystyle P=C\rho ^{\gamma }\quad (1)\,}$,

onde C é uma constante e ${\displaystyle \gamma \,}$ é um número não inferior a 1 chamado de constante adiabática. A constante adiabática se relaciona com índice do politropo pela relação:

${\displaystyle \gamma =1+{\frac {1}{n}}\,}$.

O fluido está submetido à força gerada pelo seu próprio campo gravitacional. Esta força é radial e aponta para o centro da estrutura. A magnitude da força gravitacional é denotada pela letra g é considerada uma função da distância ao centro r:

${\displaystyle g=g(r)\,}$

do teorema das cascas esféricas a força gravitacional dentro de uma estrutura com simetria esférica é dado pela expressão:

${\displaystyle g(r)={\frac {G}{r^{2}}}M(r)\quad (2)\,}$

onde ${\displaystyle M(r)\,}$ é massa total contida até a distância r do centro:

${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\quad (3)\,}$

aqui ${\displaystyle \rho (s)\,}$ é densidade do fluido à distância s do centro.

Como o fluido está em equilíbrio hidrostático, vale a equação de Poisson:

${\displaystyle \nabla P=\rho g\quad (4)\,}$

Derivação da equação de Lane-Emden

Da simetria esférica e da relação (1), a equação (4) reduz a:

${\displaystyle C\gamma \rho ^{\gamma -1}{\frac {d\rho }{dr}}=\rho g\quad (5)\,}$

Usando o valor de M(R) dado por (3) em (2) e substituindo esta expressão para a densidade em (5)

${\displaystyle C\gamma \rho ^{\gamma -1}{\frac {d\rho }{dr}}=4\pi \rho {\frac {G}{r^{2}}}\int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\,}$

ou, equivalentemente:

${\displaystyle C\gamma r^{2}\rho ^{\gamma -2}{\frac {d\rho }{dr}}=4\pi G\int _{o}^{r}s^{2}\rho (s)ds\quad (6)\,}$

Esta é uma equação íntegro-diferencial para a densidade ${\displaystyle \rho \,}$ em função de ${\displaystyle r\,}$. Diferenciando ambos os lados da equação por ${\displaystyle r\,}$, obtemos uma equação diferencial ordinária de segunda ordem:

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[C\gamma r^{2}\rho ^{\gamma -2}{\frac {d\rho }{dr}}\right]=4\pi Gr^{2}\rho \,}$

A ideia agora é introduzir a seguinte mudança de variáveis:

${\displaystyle \rho =\rho _{c}\theta ^{n}\quad \gamma =1+1/n\,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[C(n+1)\rho _{c}^{\gamma -1}r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]=4\pi Gr^{2}\rho _{c}\theta ^{n}\,}$

ou, equivalentemente:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left[r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]={\frac {4\pi G\rho _{c}^{2-\gamma }}{C(n+1)}}\theta ^{n}\,}$

A equação de estado (1) sugere definir ${\displaystyle P_{c}:=C\rho _{c}^{\gamma }\,}$, de forma que:

${\displaystyle {\frac {P}{P_{c}}}=\left({\frac {\rho }{\rho _{c}}}\right)^{\gamma }\,}$

e assim, obtemos:

${\displaystyle {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left[r^{2}{\frac {d\theta }{dr}}\right]={\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\theta ^{n}\,}$

E conclui-se o desenvolvimento, introduzindo uma nova mudança de variáveis, rescalonando o raio:

${\displaystyle \zeta =r\left({\frac {4\pi G\rho _{c}^{2}}{(n+1)P_{c}}}\right)^{\frac {1}{2}}}$

Soluções da equação

A equação pode ser resolvida analiticamente quando n = 0, 1 or 5:

n =	0	1	5
${\displaystyle \theta }$ =	${\displaystyle 1-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\sin \zeta }{\zeta }}}$	${\displaystyle \left(1+{\frac {\zeta ^{2}}{3}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$
ζ0 =	${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle \pi }$	∞

Aqui, ζ₀ indica o primeiro zero da solução.

Caso n = 0

O caso ${\displaystyle n=0\,}$ descreve um politropo em que a densidade é uniforme (isocórico). O problema neste caso é linear e é dado por:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{\zeta ^{2}}}{\frac {d}{d\zeta }}\left({\zeta ^{2}{\frac {d\theta }{d\zeta }}}\right)+1=0,~~&\zeta >0\\\theta =1,~~~~{\frac {d\theta }{d\zeta }}=0,~~&\zeta =0\end{array}}\right.}$

É fácil ver que a solução geral da equação é dada por:

${\displaystyle \theta =-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}+{\frac {C_{1}}{\zeta }}+C_{2}\,}$

a condição de a solução estar definida na origem implica ${\displaystyle C_{1}=0\,}$ e a condição ${\displaystyle \theta (0)\,}$ implica ${\displaystyle C_{2}=1\,}$. A solução é, portanto, dado por:

${\displaystyle \theta =1-{\frac {\zeta ^{2}}{6}}\,}$, cuja derivada vale:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}=-{\frac {\zeta }{3}}\,}$, que, de fato, se anula na origem.

Caso n = 1

No caso ${\displaystyle n=1\,}$, o problema é novamente linear e recai numa equação de Bessel esférica de índice 0:

A solução geral desta equação é dada por:

${\displaystyle \theta =C_{1}{\frac {\cos \zeta }{\zeta }}+C_{2}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,}$

Da mesma forma, como foi feito para o caso ${\displaystyle n=0\,}$, ${\displaystyle C_{1}=0\,}$ e ${\displaystyle C_{2}=0\,}$, observando que:

${\displaystyle \lim _{\zeta \to 0}{\frac {\sin \zeta }{\zeta }}=1\,}$ e, portanto, a solução é dada por:

${\displaystyle \theta ={\frac {\sin \zeta }{\zeta }}\,}$ cuja derivada vale:

${\displaystyle {\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {\zeta \cos \zeta -\sin \zeta }{\zeta ^{2}}}\,}$ cujo limite quando ${\displaystyle \zeta \to 0\,}$ é nulo.

Soluções singulares

Quando se desconsideram as condições iniciais, a equação de Lane-Emden possui soluções singulares na origem para todo ${\displaystyle n>3\,}$, ou seja, ${\displaystyle \gamma <4/3\,}$ da seguinte forma:

${\displaystyle \theta ={\frac {X}{\zeta ^{p}}}}$,

onde

${\displaystyle X=\left({\frac {2(n-3)}{(n-1)^{2}}}\right)^{\frac {1}{n-1}}}$

${\displaystyle p={\frac {2}{n-1}}}$.

Transformações da Equação de Lane-Emden

• Substituindo ${\displaystyle \theta ={\frac {\chi }{\zeta }}\,}$, a equação reduz à

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {\chi ^{n}}{\zeta ^{n-1}}}\,}$

• Substituindo ${\displaystyle x={\frac {1}{\zeta }}\,}$ (transformação de Kelvin), a equação se transforma em:

${\displaystyle x^{4}{\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}=-\theta ^{n}\,}$

• As transformações de Emden consistem em fazer a seguinte mudança de variáveis:

${\displaystyle \theta =Ax^{p}z,\quad p={\frac {2}{n-1}}\,}$

que satisfaz a seguinte relação:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dx^{2}}}=A\left[x^{p}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2px^{p-1}{\frac {dz}{dx}}+p(p-1)x^{p-2}z\right]\,}$

Esta mudança aplicada à equação na forma dada pela transformação de Kelvin, conduz a:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+2px{\frac {dz}{dx}}+p(p-1)z+A^{n-1}z^{n}=0\,}$

Este equação pode ser simplificada ainda mais pela introdução de mais uma nova variável:

${\displaystyle x={\frac {1}{\zeta }}=e^{t}\quad t=\log x=-\log \zeta \,}$

que reduz a última equação a:

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+(2p-1){\frac {dz}{dt}}+p(p-1)z+A^{n-1}z^{n}=0\,}$

Expansão em séries de Taylor

Pode-se encontrar uma expressão para a solução da Equação de Lane-Emden em torno de ${\displaystyle r=0\,}$ através do método de Frobenius, que consiste em expandir a solução em série de Taylor:

${\displaystyle \theta (\zeta )=\sum _{i}^{\infty }a_{i}\zeta ^{i}\,}$

As condições iniciais implicam diretamente:

${\displaystyle a_{0}=1\quad a_{1}=0\,}$

os outros coeficientes devem ser obtidos substituindo a série de ${\displaystyle \theta \,}$ na equação. Este procedimento resulta em:

${\displaystyle \theta (\zeta )=1-{\frac {1}{6}}\zeta ^{2}+{\frac {n}{120}}\zeta ^{4}+\left({\frac {n}{3024}}-{\frac {n^{2}}{1890}}\right)\zeta ^{6}+\left({\frac {n}{46656}}-{\frac {61n^{2}}{1088640}}+{\frac {61n^{3}}{1632960}}\right)\zeta ^{8}+O(\zeta ^{10})\,}$

Referências

• «Artigo no Mathworld sobre a Equação de Lane-Emden» (em inglês) 
• (em inglês) Horedt, George Paul ( 1986 ) 5.9MB  PDF, Astrophysics and Space Science vol. 126, no. 2, Oct. 1986, p. 357-408. ( ISSN 0004-640X ). Collected at the Smithsonian/NASA Astrophysical Data System.
• (em inglês) Subrahmanyan Chandrasekhar, An Introduction to the Study of Stellar Structure, 1939, Dover Publications, Inc