Teorema de Picard-Lindelöf

Em matemática, sobretudo na teoria das equações diferenciais ordinárias, o teorema de Picard-Lindelöf estabelece condições suficientes para a existência e unicidade de soluções em uma vizinhança de ${\displaystyle t_{0}\,}$ para o problema de valor inicial:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\&y(t_{0})=y_{0}\end{aligned}}}$

onde ${\displaystyle f(x,t)\,}$ é uma função contínua na variável ${\displaystyle t\,}$ e Lipschitz contínua na variável ${\displaystyle x\,}$.

Algumas vezes, notadamente na França, este teorema é chamado de Teorema de Cauchy-Lipschitz. Os nomes do teorema são em honra aos matemáticos Charles Émile Picard, Ernst Leonard Lindelöf, Rudolf Lipschitz e Augustin Louis Cauchy.

Enunciado

Seja ${\displaystyle f(x,t):[y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\to \mathbb {R} }$ uma função contínua tal que:

${\displaystyle \left|f(x,t)-f(y,t)\right|\leq L|x-y|,~~\forall x,y,t\in \mathbb {R} \,}$ para algum ${\displaystyle L\,}$ positivo.

Então existe um número ${\displaystyle h\,}$ positivo tal que o problema de valor inicial

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\y(t_{0})=y_{0}\end{array}}\,}$

admite uma única solução no intervalo ${\displaystyle [t_{0}-h,t_{0}+h]\,}$.

As iterações de Picard

Este teorema admite uma demonstração construtiva cujo cerne são as iterações de Picard. Estas iterações consistem em definir as seguintes funções indexadas por ${\displaystyle n\,}$:

${\displaystyle y_{0}(t)=y_{0}\,}$

${\displaystyle y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,}$

Unicidade

Assuma que ${\displaystyle y(t)\,}$ e ${\displaystyle z(t)\,}$ sejam solução do problema, então a diferença ${\displaystyle w(t)=y(t)-z(t)\,}$ satisfaz:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}w(t)=f(y(t),t)-f(z(t),t)\\w(t_{0})=0\end{array}}\,}$

Integrando temos:

${\displaystyle w(t)=\int _{t_{0}}^{t}\left[f(y(\tau ),\tau )-f(z(\tau ),\tau )\right]d\tau ,~~t\in [t_{0},t_{0}+h]\,}$

Usando a condição de Lipschitz, temos:

${\displaystyle |w(t)|\leq \int _{t_{0}}^{t}\left|f(y(\tau ),\tau )-f(z(\tau ),\tau )\right|d\tau \leq L\int _{t_{0}}^{t}\left|w(\tau )\right|d\tau ,~~t\in [t_{0},t_{0}+h]\,}$

Uma simples aplicação do lema de Gronwall nos permite concluir que ${\displaystyle w(t)\equiv 0\,}$ e, portanto, ${\displaystyle y(t)\equiv z(t)\,}$ como queríamos. A demonstração no intervalo ${\displaystyle [t_{0}-h,t_{0}]\,}$ é perfeitamente análoga.

Existência

Como ${\displaystyle f\,}$ é contínua em ${\displaystyle [y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\,}$, existe uma constante ${\displaystyle M>0\,}$ tal que:

${\displaystyle |f(x,t)|\leq M,\forall (x,t)\in [y_{0}-a,y_{0}+a]\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\,}$

Fixe ${\displaystyle h>0\,}$ tal que:

${\displaystyle Mh\leq a\,}$

Por simplicidade e sem perda de generalidade considere ${\displaystyle y_{0}=0\,}$. Defina as iterações de Picard:

${\displaystyle y_{0}(t)=y_{0}\,}$

${\displaystyle y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,}$

É fácil estabelecer por indução que:

${\displaystyle \left|y_{n}(t)-y_{0}\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{n-1}(\tau ),\tau )\right|d\tau \leq Mt\leq Mh\leq a\,}$

Isto garante que ${\displaystyle y_{n}\in [y_{0}-a;y_{0}+a],~~\forall n=1,2,3,\ldots \,}$

Necessitamos estabelecer a seguinte estimativa por indução em ${\displaystyle n\,}$:

${\displaystyle \left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq {\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\,}$

• Base:

${\displaystyle \left|y_{1+k}(t)-y_{1}(t)\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{k}(\tau ),\tau )-f(y_{0}(\tau ),\tau )\right|d\tau \,}$

${\displaystyle \left|y_{1+k}(t)-y_{1}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}\left|y_{k}(\tau )-y_{0}(\tau )\right|d\tau \leq ML|t|\,}$

• Indução:

${\displaystyle \left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq \int _{0}^{|t|}\left|f(y_{n+k-1}(\tau ),\tau )-f(y_{n-1}(\tau ),\tau )\right|d\tau \,}$

${\displaystyle \left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}\left|y_{n+k-1}(\tau )-y_{n-1}(\tau )\right|d\tau \,}$

${\displaystyle \left|y_{n+k}(t)-y_{n}(t)\right|\leq L\int _{0}^{|t|}{\frac {ML^{n-1}|t|^{n-1}}{(n-1)!}}d\tau ={\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\,}$

Como ${\displaystyle {\frac {ML^{n}|t|^{n}}{n!}}\leq {\frac {ML^{n}h^{n}}{n!}}\to 0,~~n\to \infty \,}$, temos que as funções ${\displaystyle y_{n}(t)\,}$ convergem uniformemente no intervalo ${\displaystyle [t_{0}-h,t_{0}+h]\,}$ para uma função contínua ${\displaystyle y\,}$

Tomando o limite em:

${\displaystyle y_{n+1}(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y_{n}(\tau ),\tau )d\tau ,~~n\geq 0\,}$

temos:

${\displaystyle y(t)=y_{0}+\int _{0}^{t}f(y(\tau ),\tau )d\tau \,}$

Neste limite usamos que ${\displaystyle f(y_{n}(\tau ),\tau )\to f(y(\tau ),\tau )\,}$ uniformemente, isto é consequência da continuidade uniforme que é válida para funções contínuas em conjuntos compactos.

Como ${\displaystyle f(y(\tau ),\tau )\,}$ é contínua em ${\displaystyle \tau \,}$, podemos aplicar o teorema fundamental do cálculo:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\,}$

E o resultado segue.

Generalizações

O teorema pode facilmente generalizado para espaços de Banach, onde o problema de valor inicial toma a seguinte forma:

Seja ${\displaystyle f(x,t):V\times [t_{0}-b,t_{0}+b]\to \mathbb {X} }$ uma função contínua tal que:

${\displaystyle \left\|f(x,t)-f(y,t)\right\|\leq L\|x-y\|,~~\forall x,y,t\in \mathbb {R} \,}$ para algum ${\displaystyle L\,}$ positivo. Onde ${\displaystyle \mathbb {X} \,}$ é um espaço de Banach e ${\displaystyle V\,}$ é uma aberto contido nele.

Então existe um número ${\displaystyle h\,}$ positivo tal que o problema de valor inicial

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)\\y(t_{0})=y_{0}\in \mathbb {V} \end{array}}\,}$

admite uma única solução no intervalo ${\displaystyle t\in [t_{0}-h,t_{0}+h]\,}$.

A derivada ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\,}$ deve ser entendida no sentido de Fréchet.

A demonstração se faz de forma perfeitamente análoga, definindo as iterações de Picard.

Observações

• O teorema de Picard-Lindelöf estabele apenas existência local, ou seja, em torno de alguma vizinhança da condição inicial.
• As condições do teorema são suficientes, porém não são necessárias.

Exemplos e contra-exemplos

• O problema:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)=y(t)^{2}\\y(t_{0})=1\end{array}}\,}$^[2]

satisfaz as condições do teorema e, de fato, sua solução é dada por:

${\displaystyle y(t)={\frac {1}{1-t}},~~t<1~\,}$

• O problema:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\frac {d}{dt}}y(t)={\sqrt {|y(t)|}}\\y(t_{0})=0\end{array}}\,}$

não satisfaz as condições do teorema, pois ${\displaystyle f\,}$ não é lipschitziana na origem. Este problema admite, no entanto, soluções, embora não haja unicidade. Duas possíveis soluções são:

${\displaystyle y(t)=0\,}$

${\displaystyle y(t)={\frac {t^{2}}{4}}\,}$

Referências

• Portal da matemática