Segida

Aljebra eta analisi matematikoan, segidak aplikazio diskretuak dira, non eremua zenbaki arrunten multzoa den eta koeremua beste edozein multzo (zenbakiena, irudi geometrikoena edo funtzioena). Multzo horietako elementu bakoitzari segidako elementu edo gai deritzo eta, elementu ordenatu kopuruari (batzuetan, infinitua), segidaren luzera.

Multzoetan ez bezala, segidetan elementuen ordenak garrantzia du, eta gai bat hainbat posiziotan ager daiteke.

Adibidez, (A, B, C) eta (C, A, B) letren segida desberdinak dira eta bakoitzaren luzera 3 da (finitua). Segida infinituen kasu bat zenbaki positibo bikoitiek osatzen dutena da: 2, 4, 6, 8....

Historia

Ezarritako arau bati jarraitzen dioten segidek beti deitu izan diete atentzioa matematikariei. Hala ere, nahiz eta segidak antzinatik ezagunak izan, XVIII. mendean matematikaren garapena heldu zen arte ez ziren sakonki aztertu. Garai hartan, balio batera hurbiltzen ziren segiden kasuak aztertu ziren eta balio horri segidaren limite izena eman zitzaion.

Leonhard Euler izan zen garai hartako matematikari garrantzitsuenetarikoa, batez ere, segiden eta serieen inguruan egindako ekarpenengatik. Aipatzekoa da Leonardo Pisano matematikari italiarra ere, berak ekarri baizituen XII. mendean Europara Fibonacciren zenbakiak.

Oro har, segidak elementuen zerrenda ordenatuak adierazteko erabiltzen dira. Konputazioan eta jokoen teoriaenre oso erabilgarriak dira.

Orokortasunak

Notazioa

Badira hainbat notazio desberdin, ikasketa alorraren arabera erabiltzen direnak. Normalean,${\displaystyle \{a_{n}\}}$ notazioa erabiltzen da, non ${\displaystyle a_{n}}$, gai orokor deritzona, segidako n. posizioko elementua den. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ azpiindizeak elementu batek segidan hartzen duen posizioa adierazten du. Zenbaki bikoiti positiboen segida da adibideetako bat:

${\displaystyle \{a_{n}\}=2,4,6,8,10,12,...}$

Orduan,

${\displaystyle a_{1}=2,a_{2}=4,a_{3}=6,a_{4}=8,....}$

Segidetako elementuek ezarritako arau bati jarraitzen diote, eta segidako elementu oro gai arbitrario baten bidezko formula baten bitartez adieraz daiteke. Aurreko segidaren kasuan, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle a_{n}=2n}$ formularen bidez adieraz daiteke edozein elementu.

${\displaystyle 1}$ azpiindizetik hasi beharrean ${\displaystyle 0}$ azpiindizetik hasten diren segidak ere badaude; azken horiek matematika diskretuan eta konputazioan agertu ohi dira. Gai orokorra adierazteko, ${\displaystyle n}$ ez den beste aldagai bat erabil daiteke, horrela beste aldagai batzuekiko nahasketak saihesteko.

Notazio alternatiboak aurki daitezke literaturan, adibidez:

• ${\displaystyle (a_{n})=a_{1},a_{2},a_{3},...}$
• ${\displaystyle (a_{n})_{k=1}^{m}=a_{1},a_{2},...,a_{m}}$
• ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }=a_{1},a_{2},...}$

Errekurrentzia bidez definitutako segidak

${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$segidaren errekurrentzia-erlazioa ${\displaystyle a_{n}}$ elementuak ezartzen du; azken hori aurreko ${\displaystyle {\displaystyle a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\;...\;,\;a_{n_{0}-1}}}$gaien araberako funtzio bat da, non ${\displaystyle n\geq n_{0}}$. Segida bera da errekurrentzia-erlazio horren soluzioa, betiere haren elementuek erlazio hori betetzen badute edozein n baliotarako.

Algoritmo errekurtsiboek soluzioa ematen diote n tamainako problema bati. Fibonacci-ren segida da errekurrentzia bidezko segiden adibide on bat:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}}$.

Definizio formala eta propietateak

Definizio asko daude, eta ikerketa-arlo bakoitzean horietako bat erabiltzen da. Ohikoena eta orokorrena zenbaki-segidaren definizioa da. Praktikan, era intuitiboan erabili ohi dira segidak.

Definizio formala

Zenbaki-segidak zenbaki arruntetatik X zenbaki multzo batera doan aplikazio baten bitartez definitzen dira:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &X\\&n&\to &a_{n}.\end{matrix}}}}$

${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ multzoa aukeratuta, Fibonacci-ren segida lor dezakegu. Oro har, zenbaki-segidak ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$ koeremua dute. Edozein kasutan, ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ notazio orokorra erabili ohi da, edo azpiindizeak zenbaki osoak direla ulertutzat ematen bada, orduan ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\geq 0}}$ notazioa erabil daiteke.

Askotan, segidari ematen zaion izena aplikazioaren koeremuarekin lotuta dago. Adibidez, ${\displaystyle a}$ -ren irudia zenbaki arrazionalen parte bada, hau da, ${\displaystyle {\dfrac {x}{y}},y\neq 0}$ motakoa, zenbaki arrazionalen segida esaten zaio. Gauza bera gertatzen da zenbaki irrazionalekin, arruntekin, osoekin, aljebraikoekin,eta transzendentalekin.

Segida finitu eta infinituak

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ r luzerako segida finituak irudiak S multzo batean baditu, funtzio hau definitzen da:

${\displaystyle f:\{1,2,3,...,r\}\longrightarrow S}$

eta, kasu horretan, ${\displaystyle a_{n}=f(n)}$ berdintza betetzen da. Esaterako, 10 baino txikiagoak diren zenbaki lehenek osatzen duten 4 luzerako segida finituari (2,3,5,7) ${\displaystyle f:\{1,2,3,4\}\longrightarrow \mathbb {P} }$ funtzioa dagokio, non ${\displaystyle \mathbb {P} }$ zenbaki lehenen multzoa den. f-k honako balioak hartzen ditu:

${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=7.}$

${\displaystyle \{a_{k}\}}$ segida infinituak irudiak S multzoan hartzen baditu, honako funtzioa definitzen da:

${\displaystyle f:\mathbb {N} \longrightarrow S.}$

Kasu horretan ere, ${\displaystyle a_{n}=f(n)}$ berdintza betetzen da.

Azpisegidak

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segida baten azpisegida edo segida partziala jatorrizko segidaren elementu batzuk ezabatzean sortzen den segida da; betiere ezabatu ez diren elementuen posizio erlatiboa aldatu gabe. Adibidez, zenbaki positibo bikoitiez osatutako segida (2,4,6...), (1,2,3...) zenbaki arrunten segidaren azpisegida bat da. Elementu batzuen posizioa aldatu egiten da beste batzuk ezabatzen direnean. Hala ere, horien posizio erlatiboa mantendu egiten da.

Formalki, ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$segida baten azpisegida${\displaystyle \{a_{n_{k}}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ motakoa da, non ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ zenbaki oso positiboen segida hertsiki gorakorra den. Segida bakar baterako hainbat azpisegida ezberdin lor daitezke.^[1]

Segida monotonoak

Segida monotonoetan, gai baten eta hurrengoaren arteko diferentzia beti da zeinu berekoa. Gorakorrak edo beherakorrak izan daitezke.^[2]

Segida gorakorretan ${\displaystyle a_{n}\leq a_{n+1}}$ desberdintza gertatzen da; hau da, elementu bakoitza hurrengoaren berdina edo txikiagoa da. Horien artean, segida konstanteak ere badaude. ${\displaystyle a_{n}<a_{n+1}}$ desberdintasun hertsia betetzen denean, aldiz, segida hertsiki gorakorra dela esaten da.

Segida beherakorrek ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n+1}}$ desberdintza betetzen dute, eta hertsiki beherakorrak dira ${\displaystyle a_{n}>a_{n+1}}$ denean.

Segida bornatuak

Segida bornatuen artean hiru kasu bereiz daitezke:

• ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segida goitik bornatuta egongo da M zenbaki erreal bat existitzen bada ${\displaystyle \{a_{n}\}\leq M}$ betetzen duena edozein n baliotarako.
• ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segida behetik bornatuta egongo da N zenbaki erreal bat existitzen bada ${\displaystyle \{a_{n}\}\geq N}$ betetzen duena edozein n baliotarako.
• Aurreko bi kasuak aldi berean gertatzen direnean, segida bornatua da.

Limiteak eta konbergentzia

Segidetako propietate garrantzitsu bat da konbergentzia. Segida batek konbergituz gero, balio partikular baterantz konbergituko du, eta balio horri limite deritzo. Segida batek limite baterantz konbergitzen badu, orduan, segida hori konbergentea dela esaten da. Konbergitzen ez duen segida, aldiz, segida dibergentea dela esaten da.

Hizkuntza formala alde batera utzita, segida batek limitea du bere elementuak ${\displaystyle L}$ balio batera (segidaren limitera) gero eta gehiago hurbildu eta elementu batetik aurrera, gai guztiak ${\displaystyle L}$ baliotik gertu mantentzen direnean. Hau da, ${\displaystyle d>0}$ edozein zenbaki erreal emanda, segidako elementu guztiek (kopuru finitu batek izan ezik)${\displaystyle L}$rekiko duten distantzia d baino txikiagoa da.

Esaterako, ${\displaystyle {\displaystyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}}$ segidak 0-rantz konbergitzen du. Aldiz, ${\displaystyle {\displaystyle b_{n}=n^{3}}(1,8,27,...)}$ eta ${\displaystyle {\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}}(-1,1,-1,1,...)}$ segidak dibergenteak dira.

Segida batek konbergitzen badu, konbergitzen dueneko limitea bakarra da. Normalen, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segidaren limite hori adierazteko, ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}}$ notazioa erabiltzen da (logikoki, segida dibergenteetan adierazpen horrek ez du inongo zentzurik).

Konbergentziaren definizio formala

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ zenbaki errealen segida batek ${\displaystyle L}$rantz konbergitzen du, baldin eta: ${\displaystyle \forall \epsilon >0}$, ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ existitzen da, zeinetarako ${\displaystyle {\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon }}$ betetzen den ${\displaystyle \forall n\geq N}$rako.^[3]

Aldiz, ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ zenbaki konplexuen segida bada, oraindik ere aurreko definizioa erabil daiteke, eraldaketa txiki batekin. Kasu horretan, ${\displaystyle |\cdot |}$ modulu arrunta erabili beharrean, konplexuen modulua erabili behar da: ${\displaystyle {\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}}}$ .

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ espazio metriko bateko puntuen segida bada, berriz, definizioa berrerabil daiteke. Betiere, ${\displaystyle {\displaystyle |a_{n}-L|}}$ adierazpena ${\displaystyle {\displaystyle {\text{dist}}(a_{n},L)}}$ espresioarekin ordezkatzen bada. Azken horrek ${\displaystyle a_{n}}$ eta ${\displaystyle L}$ balioen arteko distantzia adierazten du.

Aplikazioak

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ eta ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ segidak konbergenteak badira, hurrengo segiden limitea existitzen da, eta honela kalkula daiteke:^[3]

• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}}$
• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}},\forall c}$
• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}}$
• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}},\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$ bada
• ${\displaystyle {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}}$, ${\displaystyle \forall p>0}$.

Bestalde,

• ${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$ bada edozein ${\displaystyle n\geq N}$tarako, orduan, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.}$^{[oh 1]}
• (Squeeze teorema)

${\displaystyle \{c_{n}\}}$ segida batek ${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$ betetzen badu ${\displaystyle n\geq N}$rako, eta ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$ baldin bada, ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ konbergentea da eta ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L.}$

• Segida bat bornatua eta monotonoa bada, konbergentea da.
• Segida bat konbergentea da baldin eta soilik baldin haren azpisegida guztiak konbergenteak badira.

Cauchyren segidak

${\displaystyle \{a_{n}\}}$ segida Cauchyren segida dela esaten da hurrengo baldintza hau betetzen baldin badu: ${\displaystyle r>0}$ zenbaki erreal positibo bat emanda, eta ${\displaystyle p,q>n_{0}\in \mathbb {N} }$ hartuta, ${\displaystyle |a_{p}-a_{q}|<r}$.^[4]

Zenbaki errealen kasuan, Cauchyren segida orok limite baterantz konbergitzen du. Propietate horrek analisi errealaren emaitza garrantzitsu bat dakar: segiden konbergentziarako Cauchyren karakterizazioa.

Definizioa

Izan bedia {a_n}_n€N zenbaki errealen segida. {a_n}_n€N Cauchyren segida dela diogu baldin eta ;

${\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall n,m\geq n_{0}\left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert <\epsilon }$

Teorema

Izan bedia {a_n}_n€N zenbaki errealen segida.

{a_n}_n€N konbergentea ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ {a_n}_n€N Cauchyrena

Froga

${\displaystyle \Longrightarrow }$) Izan bedi ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=l}$ eta har dezagun ${\displaystyle \epsilon >0}$ edozein. Orduan existitzen da ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ non, ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ guztietarako ${\displaystyle \left\vert a_{n}-l\right\vert <{\frac {\epsilon }{2}}}$.

Izan bitez ${\displaystyle n,m\geq n_{0}}$.

${\displaystyle \left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert =\left\vert a_{n}-l+la_{m}\right\vert \leq \left\vert a_{n}-l\right\vert +\left\vert a_{m}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}+{\tfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$

beraz {a_n}_n€N Cauchyrena da.

${\displaystyle \Longleftarrow }$) Orain suposatzen dugu {a_n}_n€N Cauchyrena dela. Ikus dezagun bornatua dela.

Izan bedi ${\displaystyle \epsilon =1}$. {a_n}_n€N Cauchyrena denez, existitzen da ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ non ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ guztietarako,${\displaystyle \left\vert a_{n}-a_{n0+1}\right\vert \leq 1}$ den. Orduan ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ guztietarako, ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq \left\vert a_{n}-a_{n0+1}\right\vert +\left\vert a_{n0+1}\right\vert <1+\left\vert a_{n0+1}\right\vert }$.

${\displaystyle K=\max[\left\vert a_{1}\right\vert ,\left\vert a_{2}\right\vert ,...,\left\vert a_{n0}\right\vert ,\left\vert a_{n0+1}\right\vert +1]}$ {a_n}_n€N segidaren borne bat da, hau da, ${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq K}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ guztietarako, beraz {a_n}_n€N bornatua da.

Orain, Bolzano-Weierstrassen teoremaren arabera existitzen da ${\displaystyle \{a_{nk}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ {a_n}_n€N segidaren azpisegida konbergentea. Izan bedi ${\displaystyle l=\lim _{n\to \infty }a_{nk}}$ eta kontsidera dezagun ${\displaystyle \epsilon >0}$ edozein.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{nk}=l\Longleftrightarrow \exists n_{0}\in \mathbb {N} :\forall k\geq n_{1}\left\vert a_{nk}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}}$

{a_n}_n€N Cauchyrena ${\displaystyle \Longleftrightarrow \exists n_{2}\in \mathbb {N} :\forall n,m\geq n_{2}\left\vert a_{n}-a_{m}\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}}$

Izan bedi ${\displaystyle n_{0}=\max\{n_{1},n_{2}\}}$. ${\displaystyle k\geq n_{0}}$ guztietarako ${\displaystyle n_{k}\geq k}$ denez

${\displaystyle \left\vert a_{k}-l\right\vert \leq \left\vert a_{k}-a_{nk}\right\vert +\left\vert a_{nk}-l\right\vert <{\tfrac {\epsilon }{2}}+{\tfrac {\epsilon }{2}}=\epsilon }$

Beraz, ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=l}$ da.

Limite infinituak

Kalkuluan badira konbergentziaren definizio esplizitua betetzen ez duten baina arbitrarioki luzatzen diren segidak (noranzko positiboan zein negatiboan). Orduan, bi kasu bereiz daitezke:

• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty }$ bada, segidak infiniturantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da. Adibide ona da ${\displaystyle a_{n}=n}$ segida.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty }$ bada, segidak infinitu negatiborantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da.

Segiden sailkapena

Hainbat segida mota bereizten dira:

• ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ segida aritmetikoa da baldin eta${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d,\forall \geqslant 2}$ bada, ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$ izanik. d zenbakia segidaren diferentzia da.
• ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ segida geometrikoa da baldin eta ${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}r=a_{1}r^{n-1},\forall \geq 2}$ bada, ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$ izanik. r zenbakia segida geometrikoaren arrazoia da.
• ${\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ segida harmonikoa da baldin eta ${\displaystyle {\dfrac {1}{a_{n}}}={\dfrac {1}{a_{n-1}+d}}={\dfrac {1}{a_{0}+nd}},\forall \geq 1}$, ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$ izanik.

Serieak

Serieak segiden gaien batura dira. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ edo ${\displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}...}$ moduan idazten dira, non ${\displaystyle (a_{n})}$ zenbaki erreal edo konplexuen segida bat den.

Baturan infinitua ordez zenbaki finitu bat jarriz, seriearen batura partziala lortzen da. Adibidez, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ seriearen N. batura partziala ${\displaystyle S_{n}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}=a_{0}+a_{1}+...+a_{N-1}+a_{N}}$ zenbakia da. Batura partzial horiek segidak osatzen dituzte, ${\displaystyle (S_{N})_{N\in \mathbb {N} }}$, eta horiei ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ seriearen batura partzialen segidak deritze. Seriearen batura partzialen segida konbergentea bada, orduan ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ segida konbergentea dela esaten da, eta seriearen balioa (baturaren emaitza) ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ da. Beraz, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ = ${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$.

Oharrak

1. ↑ Desberdintza horiek desberdintza hertsiekin ordezkatzen badira, esandakoa orokorrean gezurra da: hala ere, badaude ${\displaystyle a_{n}<b_{n}}$ desberdintza betetzen duten segidak, edozein ${\displaystyle n}$-rako, non ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}}$ betetzen den.

Erreferentziak

Bibliografia

• Fernández Novoa, Jesús (1991). Análisis Matemático I (Tomo 1). Madrid: UNED. ISBN 9788436216684.
• Watson Fulks. "Cálculo avanzado".
• J. Dieudonné. " Fundamentos de análisis moderno".
• Lages Lima. " Curso de análisis matemático
• Banach. " Cálculo".
• Spivak . "Calculus"
• V.F. Butúzov. " Análisis matemático"

Ikus, gainera

• Serie (matematika)

Kanpo estekak

• Datuak: Q133250
• Multimedia: Sequence / Q133250