Progresio aritmetiko

Matematikan, ${\displaystyle a_{n}\,}$ zenbaki segida batek segida aritmetiko edo progresio aritmetiko bati jarraitzen diola esaten da segidako ondoz ondoko zenbakien kenketa, ${\displaystyle d=a_{n}-a_{n-1}\,}$ alegia, konstante bat denean. Konstante honi diferentzia deritzo. Progresio aritmetikoetatik Fibonacci eta Euler segidak sortzen dira, eta horiek aplikazio ugari dituzte polinomioen ebazketan, eraztun algebraikoetako elementuak segida geometrikoen terminoak direlako.

Adibidez, honako hau 2ko diferentzia duen segida aritmetikoa da, ${\displaystyle a_{1}=3\,}$ izanik: 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

Segida aritmetiko bateko ${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,}$ erako batuketa bati serie aritmetiko deritzo.

Segida aritmetiko bateko n-garren elementua formula honen arabera kalkula daiteke:

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,}$

Formula honen bitartez ere kalkula daiteke:

${\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,}$

Serie aritmetiko baten batura

Serie aritmetiko baten lehenengo ${\displaystyle n\,}$ batura formula honen arabera kalkula daiteke:

${\displaystyle S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.}$

Adibidez, honako batura hau kalkulatzeko:

3+5+7+...+87,

jakinik ${\displaystyle a_{1}=3,\ a_{n}=87,\ d=2,\ n={\frac {a_{n}-a_{1}}{d}}+1={\frac {87-3}{2}}+1=43\,}$ ditugula:

${\displaystyle S_{a}{43;3,2}={\frac {43\times (3+87)}{2}}=1935}$

Frogapena

${\displaystyle S_{a}(n;a_{1},d)\,}$ batuketa bi eratara eginez:

${\displaystyle S_{a}(n;a_{1},d)=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle S_{a}(n;a_{1},d)=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

Bi ekuazioak batuz eta laburtuz:

${\displaystyle S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

${\displaystyle \ 2S_{a}(n;a_{1},d)=n(a_{1}+a_{n}).}$

Eta hortik:

${\displaystyle S_{a}(n;a_{1},d)={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

Zenbaki lehenak segida aritmetikoetan

Zenbakiak binaka hartuta multzo bi ditugu: bakoitiak eta bikoitiak. Bigarrenean zenbaki lehen bakarra dagoenez, infinitu zenbaki lehen daude bakoitien artean.

Zenbakiak hirunaka hartuz hiru multzo ditugu: 3n erakoak (3, 6, 9, 12, . . .), 3n + 1 erakoak (4, 7, 10, 13, . . .) eta 3n + 2 erakoak (2, 5, 8, 11, . . .). Lehen multzoak zenbaki lehen bakarra du. Baina, beste bietan daude infinitu zenbaki lehen ala bietako batean bakarrik? Ez dirudi erantzuna berehalakoa denik.

Hartu orain zenbakiak launaka. {4n} segidak ez du zenbaki lehenik eta {4n + 2} segidan lehen bakarra dago, 2. Beraz, {4n + 1} eta {4n + 3} segiden artean infinitu zenbaki lehen daude; bakoitzak ditu infinitu zenbaki lehen ala batek bakarrik?

Gai orokorra a + nd erakoa duen segidari segida aritmetikoa deritzo (a eta d finkoak dira eta n ∈ N∪{0} da). Zenbaki batek a eta d zatitzen baditu, segidako gai guztiak zatituko ditu. Kasu horretan, zatitzaile hori 1 baino handiagoa bada, edo ez dago zenbaki lehenik segidan edo a bakarrik izango da lehena. Galdera, orduan, hau da: zkh(a, d) = 1 bada, ziurta daiteke a + nd segidako zenbaki lehenen kopurua infinitua dela?

Erraz asma daitekeen galdera da eta ez dakigu nori bururatu zitzaion lehen aldiz. Legendre matematikari frantsesak ekarri zuen hizpidea Essai de th´eorie des nombres liburuan (1798) eta bertan esan zuen horrelako segida aritmetiko batean beti infinitu zenbaki lehen daudela. Esan bai, baina frogatu ez. P.Lejeune-Dirichlet matematikari alemaniarrak 1837ko lan batean eman zuen teorema horren froga, Legendrek arrazoi zuela erakutsiz.

Erreferentziak

Ikus, gainera

• Progresio geometriko

Kanpo estekak

• 3. DBH. PROGRESIO ARITMETIKOAK. DIFERENTZIA ETA GAI OROKORRA bideoa youtuben.

• Datuak: Q170008
• Multimedia: Progression / Q170008