Pellen ekuazio

Pell-en ekuazio diofantoarra gisa honetako ekuazioa da: ${\displaystyle x^{2}-py^{2}=1}$, zeinetan ${\displaystyle p}$ zenbaki arrunt eta ez karratua den. Ekuazio diofantoarren helburua, zenbaki osoen gaineko ebazpenak ( ebazpen diofantoarrak ) determinatzea da, existitzen diren kasuan.

Pellen ekuazioaren: ${\displaystyle p}$, parametroaren balioa edozein zenbaki ez karratu izanik: ${\displaystyle (x,y)=(1,0)}$, eta ${\displaystyle (x,y)=(-1,0)}$ beti dira ebazpen diofantoarrak: ebazpen neutroak izenda daitezke. Horregatik ${\displaystyle p}$ zenbaki ez karratuarentzat, helburua: neutroak ez diren ebazpen diofantoarrak determinatzea da existitzen diren kasuan.

Pell-en ekuazio diofantoarraren problemak bi dira beraz: ${\displaystyle p}$ zenbaki ez karratua emanik, ebazpen ez neutrorik ba ote duen determinatzea, eta duen kasuan ahal diren ebazpen guztiak determinatzea.

Irudian ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}$, ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar eta ez neutroak, gorriz adierazi dira: ${\displaystyle (x,y)\in \{(3,2),(3,-2),(-3,2),(-3,-2)\}}$

Historia

Ekuazio honen ikerketa antzinakoa^[1] da, eta ebazpena XVIII. mendean gauzatuko da.

Badirudi Euler-en nahaste baten ondorioz atxikitzen zaiola ekuazio hau Pell-i. Badirudi Eulerrek Wallis aipatu beharrean Pell aipatu zuela.

Dirichlet-ek Pell en ekuazioa bateragarria dela frogatuko du. Hots: ${\displaystyle p}$ edozein zenbaki arrunt ez karraturentzat, Pellen ekuaziak beti duela ebazpen ez neutro bat ( ${\displaystyle y\neq 0}$ ), (usategiaren printzipioa erabiliz).

Pell-en ekuazioak ebazpen ez neutro bat baldin badu, badu ebazpen minimo bat, eta ebazpen minimo honek ekuazio diofantikoaren ebazpen guztiak determinatzen ditu: oinarrizko ebazpena izendatzen da ebazpen minimo hau.

Oinarrizko ebazpena determinatzeko metodoa, zatiki jarraien bidez ebatziko dute: Euler(1748), Lagrange(1768) eta Galois(1828)-ek: zenbaki irrazional bikarratuak, zatiki jarraien bidezko garapenarekiko karakterizatuz.

Oinarrizko ebazpena

${\displaystyle p}$ zenbaki ez karratua emanik, Pell-en ekuazioa: ${\displaystyle x^{2}-py^{2}=1}$, bateragarria dela frogatzen du Dirichlet-ek. Ondorioz ebazpen diofantoar ( ez neutroa ) bat existitzen da. Ekuazioaren ebazpenak, ${\displaystyle x^{2}-py^{2}=1}$ hiperbolan daudenez, ebazpen diofantoar bakar bat existitzen da lehen koadrantean, jatorrira distantzia minimoa duena: ebazpen minimo hau izango da: Oinarrizko ebapena, ${\displaystyle (x,y)=(a,b)}$, adieraziko da, hots: ${\displaystyle a^{2}-pb^{2}=1}$. Irudian agertu den kasuan: ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}$, ren oinarrizko ebazpena: ${\displaystyle (a,b)=(3,2)}$.

${\displaystyle {\sqrt {p}}=[a_{0},a_{1},a_{3},...,a_{n},...]}$ Zatiki jarraien bidezko garapena izango da.

Zatiki jarraien bidezko garapenaren ${\displaystyle n}$. hondarra${\displaystyle R_{n}({\sqrt {p}})=[a_{0},a_{1},a_{3},...,a_{n}]}$ adieraziko da.

Zenbaki irrazionala: ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ , erro modukoa izateagatik, Zatiki jarraien bidezko bere garapena, lehen koefizientetik aurrera periodikoa dela frogatuko du Galoisek, eta periodo hori: ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle a_{n}=2a_{0}}$ berdintza betetzen duen lehen zenbaki arrunta dela.

Honela: ${\displaystyle {\sqrt {p}}=[a_{0},{\overline {a_{1},a_{3},...,a_{T-1},2a_{0}}}]}$ izango da zatiki jarraien bidezko garapena.

Ondorengoa dugu Pellen ekuazioaren oinarrizko ebazpena:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=R_{T-1}({\sqrt {p}})=[a_{0},a_{1},a_{3},...,a_{T-1}]}$ , ${\displaystyle T}$ bikoitia bada.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=R_{2T-1}({\sqrt {p}})=[a_{0},a_{1},a_{3},...,a_{2T-1}]}$ , ${\displaystyle T}$ bakoitia bada.

Irudian agertu den kasuan: ${\displaystyle {\sqrt {p}}=[1,{\overline {2}}]}$, ondorioz: ${\displaystyle T=1}$, bakoitia.

Eta oinarrizko ebazpena: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}=R_{1}({\sqrt {2}})=[1,2]=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}}$

Ebazpen guztiak

Pellen ekuazioaren: ${\displaystyle x^{2}-py^{2}=1}$, oinarrizko ebapena bada: ${\displaystyle (x,y)=(a,b)}$.

${\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})(a-b{\sqrt {p}})=1}$, eta erlazio hori betetzen du edozein ebazpenek. Ondorioz:

${\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})^{n}(a-b{\sqrt {p}})^{n}=1^{n}=1}$, berdintza betetzen da ${\displaystyle n}$ edozein zenbaki osorentzat.

${\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {p}}}$, moduan adieraz daiteke, eta ${\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})^{n}=x_{n}+y_{n}{\sqrt {p}}}$, moduan zeinetan:

${\displaystyle x_{n}={\frac {(a+{\sqrt {p}})^{n}+(a-{\sqrt {p}})^{n}}{2}}}$

${\displaystyle y_{n}={\frac {(a+{\sqrt {p}})^{n}-(a-{\sqrt {p}})^{n}}{2{\sqrt {p}}}}}$

Zeinetan: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, hartzen bada lehen koadranteko ebazpen guztiak hartzen diren. Ebazpen hauen artean ezin dela beste egon frogatuz, lehen koadanteko ebazpen guztiak gisa horretakoak dira.

Adibideak

Lehena:

${\displaystyle p=21}$, ez da karratua, eta beraz: ${\displaystyle x^{2}-21y^{2}=1}$, bateragarria.

${\displaystyle {\sqrt {21}}=[4,{\overline {1,1,2,1,1,8}}]}$, zatiki jarraien bidezko garapena.

${\displaystyle T=6}$, bikoitia denez:

Ebazpen minimoa: ${\displaystyle a^{2}-21b^{2}=1}$.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=R_{T-1}=R_{5}=[4,1,1,2,1,1]={\frac {55}{12}}\Rightarrow a=55,b=12}$.

Lehen koadranteko ebazpen guztiak: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle x_{n}={\frac {(55+12{\sqrt {21}})^{n}+(55-12{\sqrt {21}})^{n}}{2}}}$

${\displaystyle y_{n}={\frac {(55+12{\sqrt {21}})^{n}-(55-12{\sqrt {21}})^{n}}{2{\sqrt {21}}}}}$

Bigarrena:

${\displaystyle p=53}$, ez da karratua, beraz: ${\displaystyle x^{2}-53y^{2}=1}$, bateragarria da.

${\displaystyle {\sqrt {53}}=[7,{\overline {3,1,1,3,14}}]}$, zatiki jarraien bidezko garapena.

${\displaystyle T=5}$, bakoitia denez:

Ebazpen minimoa: ${\displaystyle a^{2}-21b^{2}=1}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=R_{2T-1}=R_{9}=[7,3,1,1,3,14,3,1,1,3]={\frac {66249}{9100}}\Rightarrow a=66249,b=9100}$

Eta lehen koadranteko ebazpen guztiak: ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle x_{n}={\frac {(66249+9100{\sqrt {53}})^{n}+(66249-9100{\sqrt {53}})^{n}}{2}}}$${\displaystyle y_{n}={\frac {(66249+9100{\sqrt {53}})^{n}-(66249-9100{\sqrt {53}})^{n}}{2{\sqrt {53}}}}}$

Erreferentziak

Ikus, gainera

• Pellen ekuazioaren bateragarritasuna
• Pellen ekuazioaren ebazpen guztiak

Kanpo estekak

• Datuak: Q853067