Distribució seminormal

Distribució seminormal

Funció de densitat de probabilitat ${\displaystyle \sigma =1}$
Funció de distribució de probabilitat ${\displaystyle \sigma =1}$
Tipus	Distribució normal plegada
Paràmetres	${\displaystyle \sigma >0}$ — (escala)
Suport	${\displaystyle x\in [0,\infty )}$
fdp	${\displaystyle f(x;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad x>0}$
FD	${\displaystyle F(x;\sigma )=\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)}$
Quantil	${\displaystyle Q(F;\sigma )=\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(F)}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$
Mediana	${\displaystyle \sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)}$
Moda	${\displaystyle 0}$
Variància	${\displaystyle \sigma ^{2}\left(1-{\frac {2}{\pi }}\right)}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}(4-\pi )}{(\pi -2)^{3/2}}}\approx 0.9952717}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {8(\pi -3)}{(\pi -2)^{2}}}\approx 0.869177}$
Entropia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}\left(2\pi e\sigma ^{2}\right)-1}$
Mathworld	Half-NormalDistribution

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució seminormal és un cas especial de la distribució normal plegada.^[1]

Deixar ${\displaystyle X}$ segueix una distribució normal ordinària, ${\displaystyle N(0,\sigma ^{2})}$. Llavors, ${\displaystyle Y=|X|}$ segueix una distribució mig normal. Així, la distribució seminormal és un plec a la mitjana d'una distribució normal ordinària amb mitjana zero.^[2]

Propietats

Utilitzant el ${\displaystyle \sigma }$ parametrització de la distribució normal, la funció de densitat de probabilitat (fdp) de la mitja normal ve donada per ^[3]

${\displaystyle f_{Y}(y;\sigma )={\frac {\sqrt {2}}{\sigma {\sqrt {\pi }}}}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\quad y\geq 0,}$

${\displaystyle E[Y]=\mu ={\frac {\sigma {\sqrt {2}}}{\sqrt {\pi }}}}$

La funció de distribució acumulada (FD) ve donada per

${\displaystyle F_{Y}(y;\sigma )=\int _{0}^{y}{\frac {1}{\sigma }}{\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,dx}$

Aplicacions

La distribució mitja normal s'utilitza habitualment com a distribució de probabilitat prèvia per als paràmetres de variància en aplicacions d'inferència bayesiana.^[4]

Referències