Distribució beta prima

Distribució beta prima

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua
Paràmetres	${\displaystyle \alpha >0}$ forma (real) ${\displaystyle \beta >0}$ forma (real)
Suport	${\displaystyle x>0\!}$
fdp	${\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}\!}$
FD	${\displaystyle I_{{\frac {x}{1+x}}(\alpha ,\beta )}}$ on ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$ és la funció beta incompleta
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{ si }}\beta >1}$
Moda	${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{ si }}\alpha \geq 1{\text{, 0 d'una altra manera}}\!}$
Variància	${\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{ si }}\beta >2}$
Coeficient de simetria	${\displaystyle {\frac {2(2\alpha +\beta -1)}{\beta -3}}{\sqrt {\frac {\beta -2}{\alpha (\alpha +\beta -1)}}}{\text{ si }}\beta >3}$
Mathworld	BetaPrimeDistribution

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució beta prima (també coneguda com la distribució beta invertida, distribució beta de segona classe o distribució beta II)^[1] es una distribució de probabilitat absolutament contínua definida per ${\displaystyle x>0}$ amb dos paràmetres, α i β, que té la funció de densitat de probabilitat:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}$

on B és la funció beta.

La funció de distribució acumulada (FD) és

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=I_{\frac {x}{1+x}}\left(\alpha ,\beta \right),}$

on I és la funció beta incompleta regularitzada.

El valor esperat, la variància i altres detalls de la distribució es donen en la taula de la dreta; per ${\displaystyle \beta >4}$, l'excés de curtosi és

${\displaystyle \gamma _{2}=6{\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)(5\beta -11)+(\beta -1)^{2}(\beta -2)}{\alpha (\alpha +\beta -1)(\beta -3)(\beta -4)}}}$.

Si bé la distribució beta relacionada és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli s'expressa com una probabilitat, la distribució de beta prima és la distribució a prior conjugada del paràmetre d'una distribució de Bernoulli expressada en oportunitats. La distribució és una distribució de Pearson de tipus VI.^[1]

La moda d'una variable aleatòria X distribuïda com ${\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta )}$ és ${\displaystyle {\hat {X}}={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}}$.

La seva mitjana és ${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta -1}}}$ si ${\displaystyle \beta >1}$ (si ${\displaystyle \beta \leq 1}$, la mitjana és infinita, és a dir que no té ben definida la mitjana).

La seva variància és ${\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}}$ si ${\displaystyle \beta >2}$.

Per ${\displaystyle -\alpha <k<\beta }$, el k-è moment ${\displaystyle E[X^{k}]}$està donat per

${\displaystyle E[X^{k}]={\frac {B(\alpha +k,\beta -k)}{B(\alpha ,\beta )}}.}$

Per ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ amb ${\displaystyle k<\beta ,}$ queda simplificat a

${\displaystyle E[X^{k}]=\prod _{i=1}^{k}{\frac {\alpha +i-1}{\beta -i}}.}$

La funció de distribució acumulada també es pot escriure

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {x^{\alpha }\cdot _{2}F_{1}(\alpha ,\alpha +\beta ,\alpha +1,-x)}{\alpha \cdot B(\alpha ,\beta )}}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinó.}}\end{cases}}}$

on ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$ és la funció hipergeomètrica de Gauss ₂F₁ .

La seva equació diferencial és:

${\displaystyle \left(x^{2}+x\right)f'(x)+f(x)(-\alpha +\beta x+x+1)=0,\qquad f(1)={\frac {2^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}$

Generalització

Es poden afegir dos paràmetres més per a formar la distribució beta prima generalitzada.

• ${\displaystyle p>0}$ forma (real)
• ${\displaystyle q>0}$ escala (real)

que té la funció de densitat de probabilitat

${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,p,q)={\frac {p{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{\alpha p-1}\left({1+{\left({\frac {x}{q}}\right)}^{p}}\right)^{-\alpha -\beta }}{qB(\alpha ,\beta )}}}$

amb mitjana

${\displaystyle {\frac {q\Gamma (\alpha +{\tfrac {1}{p}})\Gamma (\beta -{\tfrac {1}{p}})}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\quad {\text{si }}\beta p>1}$

i moda

${\displaystyle q\left({\frac {\alpha p-1}{\beta p+1}}\right)^{\tfrac {1}{p}}\quad {\text{si }}\alpha p\geq 1}$

Si una variable aleatòria X segueix una distribució beta prima generalitzada, s'anotarà ${\displaystyle X\sim \beta ^{'}(\alpha ,\beta ,p,q)}$.

Si p=q=1, llavors la distribució beta prima generalitzada és igual a la distribució beta prima estàndard.

La distribució gamma composta

La distribució gamma composta^[2] és la generalització de la distribució beta prima quan el paràmetre d'escala q, s'afegeix, però on p = 1. Es diu així perquè està format per la combinació de dues distribucions gamma:

${\displaystyle \beta '(x;\alpha ,\beta ,1,q)=\int _{0}^{\infty }G(x;\alpha ,p)G(p;\beta ,q)\;dp}$

on G(x;a,b) és la distribució gamma amb una forma i escala inversa b. Aquesta relació es pot utilitzar per generar variables aleatòries amb una distribució gama composta o amb una distribució beta prima.

La moda, la mitjana i la variància de la distribució gama composta poden ser obtingudes multiplicant la moda i la mitjana que apareixen a la taula del principi per q i la variància per q².

Propietats

• Si ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$ llavors ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \beta '(\beta ,\alpha )}$.
• Si ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,q)}$ llavors ${\displaystyle kX\sim \beta '(\alpha ,\beta ,p,kq)}$.
• ${\displaystyle \beta '(\alpha ,\beta ,1,1)=\beta '(\alpha ,\beta )}$

Distribucions relacionades i propietats

• Si ${\displaystyle X\sim F(2\alpha ,2\beta )}$, llavors ${\displaystyle X\sim \beta '(\alpha ,\beta ,1,{\tfrac {\alpha }{\beta }})}$, o de forma equivalent, ${\displaystyle {\tfrac {\alpha }{\beta }}X\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$
• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Beta}}(\alpha ,\beta )}$, llavors ${\displaystyle {\frac {X}{1-X}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$
• Si ${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,1)}$ i ${\displaystyle Y\sim \Gamma (\beta ,1)}$ són independents, llavors ${\displaystyle {\frac {X}{Y}}\sim \beta '(\alpha ,\beta )}$.
• Parametrització 1: Si ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\theta _{k})}$ són independents, llavors ${\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\theta _{1}}{\theta _{2}}})}$
• Parametrització 2: Si ${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})}$ són independents, llavors ${\displaystyle {\tfrac {X_{1}}{X_{2}}}\sim \beta '(\alpha _{1},\alpha _{2},1,{\tfrac {\beta _{2}}{\beta _{1}}})}$
• ${\displaystyle \beta '(p,1,a,b)={\textrm {Dagum}}(p,a,b)}$ és la distribució de Dagum.
• ${\displaystyle \beta '(1,p,a,b)={\textrm {SinghMaddala}}(p,a,b)}$ és la distribució de Singh-Maddala.
• ${\displaystyle \beta '(1,1,\gamma ,\sigma )={\textrm {LL}}(\gamma ,\sigma )}$ és la distribució log-logística.
• La distribució beta prima és un cas especial de la distribució de Pearson de tipus VI.
• La distribució de Pareto de tipus II està relacionada amb la distribució beta prima.
• La distribució de Pareto de tipus IV està relacionada amb la distribució beta prima.
• La distribució de Dirichlet invertida és una generalització de la distribució beta prima.

Referències

Bibliografia

• Dubey, Satya D. Compound gamma, beta and F distributions (vol. 16) (en anglès). Metrika, 1970. DOI 10.1007/BF02613934. 
• Jonhnson, N.L; Kotz, S. Continuous Univariate Distributions (vol. 2) (en anglès), 1995. ISBN 0-471-58494-0. 

Enllaços externs

• Distribució beta prima, en MathWorld. (anglès)