Distribució de Davis

Distribució de Davis

Paràmetres	${\displaystyle b>0}$ escala ${\displaystyle n>0}$ forma ${\displaystyle \mu >0}$ localització
Suport	${\displaystyle x>\mu }$
Esperança matemàtica	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +{\frac {b\zeta (n-1)}{(n-1)\zeta (n)}}&{\text{si }}\ n>2\\{\text{Indeterminat}}&{\text{altrament}}\ \end{cases}}}$
Variància	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {b^{2}\left(-(n-2){\zeta (n-1)}^{2}+(n-1)\zeta (n-2)\zeta (n)\right)}{(n-2){(n-1)}^{2}{\zeta (n)}^{2}}}&{\text{si}}\ n>3\\{\text{Indeterminat}}&{\text{altrament}}\ \end{cases}}}$

En estadística, les distribucions de Davis són una família de distribucions de probabilitat contínues. Duen el nom Harold T. Davis (1892–1974), qui l'any 1941 va proposar aquesta distribució per modelitzar els guanys (The Theory of Econometrics and Analysis of Economic Time Series). És una generalització de la llei de Planck de la física estadística.

Definició

La funció de densitat de probabilitat de la distribució de Davis ve donada per:

${\displaystyle f(x;\mu ,b,n)={\frac {b^{n}{(x-\mu )}^{-1-n}}{\left(e^{\frac {b}{x-\mu }}-1\right)\Gamma (n)\zeta (n)}}}$

on ${\displaystyle \Gamma (n)}$ és la funció Gamma i ${\displaystyle \zeta (n)}$ és la funció zeta de Riemann. Aquí μ, b, i n són paràmetres de la distribució i n ha de ser un nombre enter.

Rerefons

En un intent de derivar una expressió que pogués representar no únicament l'extrem superior de la distribució dels ingressos, Davis va necessitar un model amb les següents propietats:^[1]

• ${\displaystyle f(\mu )=0\,}$ per algun valor de ${\displaystyle \mu >0\,}$
• L'existència d'ingressos modals.
• Que per valors grans de x, la densitat es comporti com una distribució de Pareto:

${\displaystyle f(x)\sim A{(x-\mu )}^{-\alpha -1}\,.}$

Distribucions relacionades

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Davis} (b=1,n=4,\mu =0)\,}$ llavors ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \mathrm {Planck} }$ (llei de Planck)

Referències

Bibliografia

• Kleiber, Christian. Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences. Wiley Series in Probability and Statistics, 2003. ISBN 978-0-471-15064-0. 
• Davis, H. T. (1941). The Analysis of Economic Time Series. The Principia Press, Bloomington, Indiana Download book
• VICTORIA-FESER, Maria-Pia. (1993) Robust methods for personal income distribution models. Thèse de doctorat : Univ. Genève, 1993, no. SES 384 (p. 178)