Distribució GammaFunció de densitat de probabilitat ![Probability density plots of gamma distributions](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e6/Gamma_distribution_pdf.svg/325px-Gamma_distribution_pdf.svg.png) |
Funció de distribució de probabilitat ![Cumulative distribution plots of gamma distributions](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8d/Gamma_distribution_cdf.svg/325px-Gamma_distribution_cdf.svg.png) |
Tipus | distribution de Tweedie, família exponencial, generalized gamma distribution (en) , distribució matriu gamma, distribució univariant i distribució de probabilitat contínua ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Paràmetres | forma escala |
---|
Suport | ![{\displaystyle x\in (0,\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb9a21cd92ae991a12ba8aaa186dd60922862c0) |
---|
fdp | ![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,x^{k-1}e^{-x/\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e6c9bc706a260d4a3f66dfc33155cb4454a922) |
---|
FD | ![{\displaystyle F(x)={\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,{\frac {x}{\theta }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206171e583bb2aa2e14a65530b7cd9e5596d922e) |
---|
Esperança matemàtica | ![{\displaystyle k\,\theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b97d70c024c71e9fae277f8de9a345847626e4f0) |
---|
Mediana | No té expressió tancada |
---|
Moda | ![{\displaystyle (k-1)\theta ,\ {\text{si}}\ k\geq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e60fffb8b0fe6a78fe22ec9191630ba61fc98154) |
---|
Variància | ![{\displaystyle k\,\theta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ac595572e52953858b525bfd036acb1e8b964f) |
---|
Coeficient de simetria | ![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45eff79aec609af84bf67d9272aebc1fa8681994) |
---|
Curtosi | ![{\displaystyle {\frac {6}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bea39cf9fc4c3ff5dc63035a85205b437db7e426) |
---|
Entropia | ![{\displaystyle {\begin{aligned}k&+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\\&+(1-k)\psi (k)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/badcd9de56aee1547b1743cd802484471cf3555c) |
---|
FGM | ![{\displaystyle (1-\theta t)^{-k},\ {\text{per a }}t<{\frac {1}{\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7b07eb2a3bdbb5fe97c868b99b24f25856724f) |
---|
FC | ![{\displaystyle (1-\theta it)^{-k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5768a597d0f48f216a027bd3e92a8b3e67e0371b) |
---|
Informació de Fisher | ![{\displaystyle I(k,\theta )={\begin{pmatrix}\psi ^{(1)}(k)&\theta ^{-1}\\\theta ^{-1}&k\theta ^{-2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ca1fa0ecbcf09ce7fc348b6c3363faac0408e4) |
---|
Mathworld | GammaDistribution ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
En la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució gamma és una família de distribucions contínues amb dos paràmetres que inclouen com a casos particulars moltes distribucions importants, com la distribució exponencial, khi quadrat o Erlang. Té un paràmetre d'escala θ i un paràmetre de forma k. Si k és un nombre sencer aleshores la distribució representa la suma de k variables aleatòries exponencials, cadascuna de les quals té mitjana θ. La referència bàsica d'aquest article és Johnson et al..
Funció de densitat i parametritzacions
Hi ha dues parametritzacions diferents de la distribució gamma. La primera[2] utilitza un paràmetre d'escala
i un paràmetre de forma
, i és àmpliament utilitzada tant en Estadística com en Probabilitats; a més, és la més habitual en el programari estadístic.[3] La funció de densitat és
![{\displaystyle f(x;k,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,x^{k-1}\,e^{-x/\theta },&{\text{si}}\ x>0,\\0,&{\text{si}}\ x\leq 0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61441b7c7a7cbd7e9bf302b631203fa2cd3b8592) |
on
és la funció gamma. Si
és una variable aleatòria amb aquesta distribució, s'escriu
o
.
La segona parametrització utilitza un paràmetre d'escala inversa, que també s'anomena paràmetre de taxa (rate parameter),
,
, i el paràmetre de forma
. Aquesta parametrització també s'utilitza molt, per exemple en teoria de la probabilitat [4] o en Estadística bayesiana.[5] La funció de densitat, amb aquesta parametrització és
![{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\begin{cases}{\dfrac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\,x^{\alpha -1}\,e^{-\beta x},&{\text{si}}\ x>0,\\0,&{\text{si}}\ x\leq 0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c6222f5128e8551fe0227cc71bedef3a6d7ff3)
En aquest article utilitzarem la primera parametrització.
Funció de distribució
![{\displaystyle F(x;k,\theta )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\Gamma (k)}}\gamma {\big (}k,{\dfrac {x}{\theta }}{\big )},&{\text{si}}\ x\geq 0\\0,&{\text{si}}\ x<0,\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a55c082b2a2eee6d6d521e4f78979f8473ff3f)
on
![{\displaystyle \gamma (k,x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085fa7ab2d35cccb1f05086e050f8cb364945477)
és la
funció gamma incompleta inferior.
Propietat d'escala
Sigui
. Aleshores per qualsevol
, tenim que
. Aquesta propietat es comprova calculant la funció de densitat de
.
En particular, si
, aleshores
i, recíprocament, si
, aleshores
; Johnson et al anomenen distribució gamma estàndard a la distribució
.
En termes de les funcions de densitat tenim la relació
![{\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {1}{\theta }}\,f{\Big (}{\frac {x}{\theta }};k;1{\Big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3032ab0c3bf5e40a6177d5d5e14e001d4ce4114e)
que és una de les característiques dels
paràmetres d'escala.
La propietat d'escala permet reduir diverses propietats (per exemple el càlcul dels moments) a casos més senzills.
Moments
La distribució gamma té moments de tots els ordres. Si
, aleshores per a
,
![{\displaystyle E[X]=\theta k\quad {\text{i}}\quad E[X^{n}]=\theta ^{n}k(k+1)\cdots (k+n-1),\ n\geq 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0ea0a94a0cdfdf1e1a703af1776238155e2459) |
En particular,
![{\displaystyle E[X^{2}]=\theta ^{2}k(k+1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae93b7afff1bcf81fa619107d8a65fa3231d5e6)
d'on
![{\displaystyle {\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-{\big (}E[X]{\big )}^{2}=\theta ^{2}k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1a881b13c1811a9e8c306a9044fb9ea480f32a2)
![{\displaystyle E[X]=\theta k\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(X)=\theta ^{2}k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbc01c86bcb9b10c7f3dfb62fcecebc8e08b4651) |
Prova
Calcularem els moments pel cas de la distribució gamma estàndard, és dir, amb
![{\displaystyle \theta =1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f287a8873fea8959af7d41cd891678d8875d3a15)
, dels quals es dedueixen els del cas general per la propietat d'escala. Reduirem la integral que intervé el càlcul dels moments a la funció gamma: Concretament, si
![{\displaystyle Y\sim \Gamma (k,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c0e4ed4363945e3364b49ee05d69fa98e3b4ce)
, llavors
![{\displaystyle E[Y^{n}]={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{n+k-1}e^{-x}\,dx={\frac {\Gamma (n+k)}{\Gamma (k)}}=(k+n-1)(k-n-2)\cdots k,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb9f7f65b21389f8caa3e41ae480b08c587cba1)
on a la darrera igualtat igualtat hem utilitzat l'equació funcional de la funció gamma
![{\displaystyle \Gamma (t+1)=t\,\Gamma (t),\ t>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2c0c1dd2a253565a224fbf33f5cb34ebb38ad6)
. Per a
![{\displaystyle X\sim \Gamma (k,\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1032cf4bd9da68e62e65d255fbdb9865e813676)
, per la propietat d'escala, amb les notacions anteriors, tenim que
![{\displaystyle E[X^{n}]=E{\big [}(\theta Y)^{n}{\big ]}=\theta ^{n}\,E[Y^{n}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6c2d33e20b4ac0652c33e805c3cf534d000ec70)
Funció generatriu de moments i funció característica
La distribució gamma
té funció generatriu de moments en una semirecta que conté el zero:
![{\displaystyle M(t)={\frac {1}{(1-\theta t)^{k}}},\quad t\in (-\infty ,{\frac {1}{\theta }}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e648fd27d4faca6b9cde28425c064d5f6b900667)
Prova
De nou, començarem per la distribució gamma estàndard: Si
![{\displaystyle Y\sim \Gamma (k,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c0e4ed4363945e3364b49ee05d69fa98e3b4ce)
, llavors
![{\displaystyle M_{Y}(t)={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }e^{tx}x^{k-1}e^{-x}\,dx={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }e^{-x(1-t)}x^{k-1}\,dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b15356687b02fa5ceea6e7c8bc5abee2cb0cab)
Si
![{\displaystyle t<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220038374b0cf3df3047117491bb90a1a97cb971)
, fem el canvi
![{\displaystyle x=y/(1-t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd9b1df027c6bb9f44a1f596e155ece5a944001)
i tenim
![{\displaystyle M_{Y}(t)={\frac {1}{\Gamma (k)\,(1-t)^{k}}}\,\int _{0}^{\infty }e^{-y}y^{k-1}\,dy={\frac {1}{(1-t)^{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb87218e6a9a74694ae6b524796cdab4e01d3385)
.
En el cas general,
, per la propietat d'escala, si definim
, llavors
. Per les propietats de les funcions generatrius, per
,
![{\displaystyle M_{X}(t)=E{\big [}e^{tX}{\big ]}=E{\big [}e^{t\theta Y}{\big ]}=M_{Y}(t\theta )={\frac {1}{(1-t\theta )^{k}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4cd7d1bbfc37a8ea29245689bbc8bdcacbf9ef0)
La funció característica és [4]
![{\displaystyle \varphi (t)={\frac {1}{(1-i\theta t)^{k}}}=\exp {\Big \{}-k\log(1-i\theta t){\Big \}},\quad t\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59f7fd0409b00e59011cee5a1656ffbaa178cc9)
on
![{\displaystyle \log }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e4debd0ab1c6ce342d0172a7643733305c37bc)
és la branca principal del logaritme, és a dir, amb la part imaginària a
![{\displaystyle (-\pi ,\pi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c36ae0b6df166895be75651d237fd87298e566)
.
Caràcter reproductiu
Si
i
independents, aleshores
; és diu que la distribució
és reproductiva[7] respecte el paràmetre
. Aquesta propietat es demostra utilitzant les funcions característiques (o les funcions generatrius de moments) de
i
.
Més generalment, si
són independents,
, aleshores
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \Gamma {\big (}\sum _{i=1}^{n}k_{i},\theta {\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f3a230bb078f18fc9968b39f374ea295bbe6ff)
.
La distribució gamma és infinitament divisible
La distribució gamma
és infinitament divisible (o infinitament descomposable),[8] això és, sigui
, aleshores per a qualsevol enter
, existeixen (en algun espai de probabilitat) variables aleatòries
independents i idènticament distribuïdes tals que
![{\displaystyle X\ {\overset {\mathcal {D}}{=}}\ X_{1}+\cdots +X_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f5bc5d7ffe7e3a9a065ea2f66fc84099e3d8d0a)
on
![{\displaystyle {\overset {\mathcal {D}}{=}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c73556df02a8cbac03c13752985ee193042a50)
indica la
igualtat en distribució o llei. Aquí cal prendre
![{\displaystyle X_{i}\sim \Gamma (k/n,\theta ),\ i=1,\dots ,n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee431b0c74092511100b996e2781fdb39f43044e)
.
La representació de Lévy-Khintchine[9] de la funció característica és
![{\displaystyle \varphi (t)=\exp {\Big \{}k\int _{0}^{\infty }{\big (}e^{itx}-1{\big )}\,{\frac {e^{-x/\theta }}{x}}\,dx{\Big \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68edcdaff378f0a914e0b175938f441b932ad41d)
Per tant, la mesura de Lévy té densitat
![{\displaystyle g(x)=k\,{\frac {e^{-x/\theta }}{x}},\quad x>0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97be9892a2d5c1904738f819e5eb20f1d5f0d63)
i la part gaussiana i la deriva (
drift) són zero (vegeu Sato
[10] per a les definicions d'aquests termes).
Aproximació de la distribució gamma per la distribució normal
En aquest apartat suposarem que el paràmetre
és un nombre natural. Sigui
, aleshores, com conseqüència del teorema central de límit,
![{\displaystyle {\frac {X_{k}-k}{\sqrt {k}}}\ {\underset {k\to \infty }{\overset {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}}\ {\mathcal {N}}(0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ca1142ef971bfc696ac9c3b72e8781dc49b0bed)
(Vegeu les notacions a
convergència de variables aleatòries.) En altres paraules, per a
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
gran,
![{\displaystyle X_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33c25229c6989c235f9cbb7908331f6d01d0abfe)
és aproximadament normal
![{\displaystyle {\mathcal {N}}(k,k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53aefb5989f81a4b19293b2386284ae51d532d86)
.
Prova
Sigui
![{\displaystyle T_{1},T_{2},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7596c52d4051db7027a624569a9f0e83152fd546)
una successió de variables aleatòries independents totes amb llei
![{\displaystyle \Gamma (1,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c55f0fa17e931b4e80dacb0663ea5c337ea41ca)
(és dir, amb
distribució exponencial de paràmetre 1). Tenim que
![{\displaystyle E[T_{i}]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67bdbe78d39b134e83685aefa55bd609ca55619d)
i
![{\displaystyle {\text{Var}}(T_{i})=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f04792dd34bfd64d9877e58ff3bd3567b0fc9ab8)
. Llavors, pel
teorema central del límit,
![{\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{k}T_{i}-k}{\sqrt {k}}}\ {\underset {k\to \infty }{\overset {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}}\ {\mathcal {N}}(0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca985e85a0192182af994897790c21db0423dcd7)
Però per la propietat reproductiva,
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{k}T_{i}\sim \Gamma (k,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48ecd2ba0221e9fdf21299e0b1c65338bcbe2852)
.
Però aquesta aproximació a la distribució normal és molt lenta i el següent resultat dóna una aproximació més ràpida: Sigui
. Aleshores
![{\displaystyle 2{\Big (}{\sqrt {X_{k}}}-{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}}{\Big )}\ {\underset {k\to \infty }{\overset {\mathcal {D}}{\longrightarrow }}}\ {\mathcal {N}}(0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a673bef72cd2f3e9791d8808c7c07f51b8cbc34)
És a dir, per a
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
gran,
![{\displaystyle {\sqrt {X_{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/060aa340ecef0dbf09101092f07797294af866b7)
és aproximadament normal
![{\displaystyle {\mathcal {N}}{\Big (}{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}},{\tfrac {1}{4}}{\Big )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07717badb70d2a7a618d97ffccd66082ed39bd63)
.
[11] Prova
Considerem la variable aleatòria
![{\displaystyle Z_{k}={\sqrt {X_{k}}}-{\sqrt {k-{\frac {1}{4}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4860f45b564e2c0bffb1d487ded23eda775e72e2)
Per la fórmula de canvi de variables, la funció de densitat de
![{\displaystyle Z_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a05237076c50ce9cf9a75c02ff57abefac0de4)
és
![{\displaystyle g_{k}(x)={\frac {2}{(k-1)!}}\,{\Big (}x+{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}}{\Big )}^{2k-1}\exp {\Big \{}-{\Big (}x+{\sqrt {k-{\tfrac {1}{4}}}}{\Big )}^{2}{\Big \}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a004c1ada0bae74082b9810426851644db0058a)
Llavors es comprova que
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }g_{k}(x)={\frac {2}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-2x^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3def04cc451e63e06948976bd22797e565630006)
que és la funció de densitat d'una distribució normal
![{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,{\tfrac {1}{4}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c82d883ce0561de978779e4bb1eb09286813f8)
. De les propietats de la
convergència en distribució es dedueix que
![{\displaystyle Z_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a05237076c50ce9cf9a75c02ff57abefac0de4)
convergeix en distribució a una distribució
![{\displaystyle {\mathcal {N}}(0,{\tfrac {1}{4}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c82d883ce0561de978779e4bb1eb09286813f8)
. Vegeu
[11] pels detalls.
Altres propietats
Família exponencial
La distribució gamma pertany a la família exponencial de dos paràmetres i té paràmetres naturals
i
, i estadístics naturals
i
.
Moda
Quan
, la funció de densitat de la distribució
té un únic màxim al punt
; és diu que aquest valor és la moda de la distribució i que la distribució és unimodal. El valor del màxim és
, que per la fórmula de Stirling, per a valors grans de
es pot aproximar per
.[12]
Quan
, aleshores la densitat no està afitada, ja que, en aquest cas,
Entropía
L'entropia ve donada per
![{\displaystyle =-\left[(k-1)(\ln \theta +\psi (k))-k-k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/195b3b513da4f0ff84683ed831b6e991532e7fe0)
![{\displaystyle =k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6b12d6cd1fb6dfcc561be6758dcbbd9f705554)
on ψ(k) és la funció digamma.
Divergència Kullback-Leibler
La divergència Kullback-Leibler entre una Γ(α0, β0) (la distribució veritable) i una Γ(α, β) (la distribució que l'aproxima) ve donada per
![{\displaystyle D_{\mathrm {KL} }(\alpha ,\beta ||\alpha _{0},\beta _{0})=\log \left({\frac {\Gamma ({\alpha _{0}})\beta _{0}^{\alpha _{0}}}{\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha _{0}}}}\right)+(\alpha -{\alpha _{0}})\psi (\alpha )+\alpha {\frac {\beta -\beta _{0}}{\beta _{0}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cf81d4e7869f3d54065338fc99974d195f696b)
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace de la distribució gamma és:
![{\displaystyle F(s)={\frac {\beta ^{\alpha }}{(s+\beta )^{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b7a98931edf11e7a55ac0fcb996dfa5943aea37)
Estimació dels paràmetres
Màxima versemblança
La funció de versemblança per a N observacions iid
és
![{\displaystyle L(\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91ea3893a32a5809da778f97040993f08d43ee1)
de la qual podem calcular la log-versemblança
![{\displaystyle \ell (\theta )=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-\sum x_{i}/\theta -Nk\ln {(\theta )}-N\ln {\Gamma (k)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca530c1fa7ba2e4954d8946a3101253594244cac)
L'estimador màxim-versemblant s'obté maximitzant la log-versemblança, és a dir, calculant-ne la derivada i igualant a zero (es pot demostrar que la funció és convexa i que per tant té un sol extrem). Procedint d'aquesta manera trobem que:
![{\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{kN}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86dd88b03f551ad289e2b19cd447c402071141f8)
Substituint aquest resultat a l'expressió de la log-versemblança dona
![{\displaystyle \ell =(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-Nk-Nk\ln {\left({\frac {\sum x_{i}}{kN}}\right)}-N\ln {(\Gamma (k))}.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf29447f73a79be05e459ee64be77505bf1c8223)
Per trobar el màxim respecte de k cal calcular la derivada i igualar-la a zero, amb què s'obté:
![{\displaystyle \ln {(k)}-\psi (k)=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06b86f9c276bd03e57fe5281f75f914e8c4bd880)
on
![{\displaystyle \psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ac5f05fb016dce8bf9defd6e2b1122ab24d236)
és la funció digamma. No existeix cap fórmula tancada per a k, però la funció es comporta bé numèricament (és convex), i per tant és senzill trobar-ne una solució numèrica, per exemple amb el mètode de Newton. És possible trobar un valor inicial per a k emprant el mètode dels moments, o emprant l'aproximació
![{\displaystyle \ln(k)-\psi (k)\approx {\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12k+2}}\right).\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cdd1f07fe47c152783a3f9952aa116b737fa61)
Si definim
![{\displaystyle s=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})},\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cab810fa3097b02e6211a8cd152b15483632d67)
aleshores k és aproximadament
![{\displaystyle k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {(s-3)^{2}+24s}}}{12s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb19579e029ef52f2677c6aaa01d443a93dc4a85)
que és dins d'un 1,5% del valor correcte.
Estimador Bayesià
Si considerem que k és conegut i
és desconegut, la funció de densitat a posteriori per a
és (assumint que la distribució a priori és proporcional a
)
![{\displaystyle P(\theta |k,x_{1},...,x_{N})\propto 1/\theta \prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta ).\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/374a6c6e571881a6a3ee70e392d43ec7e7855625)
Definint
![{\displaystyle y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad P(\theta |k,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-Nk-1}e^{-y/\theta }.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9632f535c4d1d5c5334f5716b601ec91f17b0939)
Per tal de calcular l'esperança cal calcular la integral respecte &theta, el qual pot dur-se a terme emprant un canvi de variables que revela que 1/&theta segueix una distribució gamma amb paràmetres
.
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\theta ^{-Nk-1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta =\int _{0}^{\infty }x^{Nk-1-m}e^{-xy}\,dx=y^{-(Nk-m)}\Gamma (Nk-m).\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de1f37460e3189eb0cac93b0e2ab2ec50d43dc7)
Els moments podem calcular-se especificant diferents valors per a m a la següent expressió
![{\displaystyle E(x^{m})={\frac {\Gamma (Nk-m)}{\Gamma (Nk)}}y^{m},\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecbedfd5eef07be692ca82e66c658aa2d8ad84d)
Per exemple, l'esperança +/- la desviació estàndard de la distribució a posteriori de
és:
+/- ![{\displaystyle {\frac {y^{2}}{(Nk-1)^{2}(Nk-2)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd7f847356af4c3fa46bce66bab0c0fc247c93f)
També és possible obtenir estimadors Bayesians sense assumir que k és conegut, però en general no és possible obtenir-ne una expressió senzilla.
Generació de valors d'una distribució gamma
Tenint en compte la propietat d'escala esmentada anteriorment, és suficient generar una variable gamma amb β = 1 i després transformar-la a qualsevol altre valor de β amb una simple divisió.
Emprant el fet que una distribució Γ(1, 1) és el mateix que una distribució exponencial Exp(1), i tenint en compte el mètode per generar variables aleatòries exponencials, arribem a la conclusió que si U prové d'una distribució uniforme en (0, 1], aleshores -ln(U) segueix una Γ(1, 1). Emprant la propietat de què la suma de variables aleatòries gamma independents segueix novament una distribució gamma, extenem el resultat:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{-\ln U_{k}}\sim \Gamma (n,1),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/948da63cdc6df81725c5fd48f0ae3762d802ec47)
on Uk són uniformement distribuïdesen (0, 1] i independents.
Tanmateix aquesta estratègia només funciona si n és un nombre sencer. Ara veurem com generar observacions d'una Γ(δ, 1) per a 0 < δ < 1, ja que després podem aplicar la propietat de la suma per al cas 1 < &delta.
A continuació presenten un algoritme, sense demostració. Es tracta d'un cas particular del mètode d'acceptació-rebuig:
- Sigui m= 1.
- Generar
i
— independents i uniformement distribuïdes a (0, 1]. - Si
, on
, aleshores anar a 4, altrament anar a 5. - Sigui
. Anar a 6. - Sigui
. - Si
, aleshores incrementar m i tornar a 2. - Assumim que
és l'observació d'una ![{\displaystyle \Gamma (\delta ,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3143b4cb4826c8c64437ff4d0ca66432ae347d8)
Per resumir,
![{\displaystyle \theta \left(\xi -\sum _{i=1}^{[k]}{\ln U_{i}}\right)\sim \Gamma (k,\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8816ea8e64d96b972b73077057df79b9ec43fab)
on [k] és la part sencera de k, i ξ ha estat generat emprant l'algoritme que hem presentat δ = {k} (la part fraccional de k), Uk i Vl segueixen la distribució explicada anteriorment i són independents.
La Llibreria científica GNU disposa de rutines robustes per a generar observacions de moltes distribucions, incloent la distribució Gamma.
Distribucions relacionades
Casos particulars
- Si
, aleshores X segueix una distribució exponencial amb paràmetre λ. - Si
, aleshores X és idènticament distribuïda a una χ²(ν), la distribució khi-quadrat amb ν graus de llibertat. - Si
és un nombre sencer, la distribució gamma es denomina distribució d'Erlang que serveix per a modelar el temps d'arribada fins a la
-ena "arribada" en un procés de Poisson d'una dimensió amb intensitat 1/θ.
- Si
, aleshores X segueix una distribució de Maxwell-Boltzmann amb paràmetre a.
, aleshores ![{\displaystyle \mathrm {log} (1+e^{-X})\sim \Gamma (1,\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3fc5148dffe3dfda0394cc946cfb39821d0cae0)
Altres
- Si X segueix una Γ(k, θ) aleshores 1/X segueix una distribució gamma inversa amb paràmetres k i θ-1.
- Si X i Y són Γ(α, θ) i Γ(β, θ) independents, respectivament, aleshores X / (X + Y) segueix una distribució beta amb paràmetres α i β.
- Si Xi són Γ(αi,θ) independents, aleshores el vector (X1 / S, ..., Xn / S), on S = X1 + ... + Xn, segueix una distribució de Dirichlet amb paràmetres α1, ..., αn.
Distribució gamma amb tres paràmetres
Johnson et al. introdueixen la distribució gamma amb tres paràmetres: a més dels paràmetres de forma i escala
, consideren un paràmetre de posició
; la distribució ve definida per la funció de densitat
![{\displaystyle f(x;k,\theta ,\gamma )={\begin{cases}{\dfrac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\,(x-\gamma )^{k-1}\,e^{-(x-\gamma )/\theta },&{\text{si}}\ x>\gamma ,\\0,&{\text{si}}\ x\leq \gamma .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6954a6c313c8e1d306871f1d989dfb3acc6c6707)
Notes
- ↑ Forbes, C; Evans, M.; Hastings, N.; Peacock, B. Statistical distributions.. 4th ed.. Oxford: Wiley-Blackwell, 2010, p. 109. ISBN 978-0-470-62724-2.
- ↑ «The R project for statistical computing». [Consulta: 9 febrer 2023].
- ↑ 4,0 4,1 Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 13. ISBN 0-521-55302-4.
- ↑ Bernardo, J. M.; Smith, A. F. M.. Bayesian theory. Chichester, Eng.: Wiley, 1994, p. 118. ISBN 0-471-92416-4.
- ↑ Wilks, S. S.. Mathematical statistics. Nova York: Wiley, 1962, p. 176. ISBN 0-471-94644-3.
- ↑ Loeve, Michel. Teoría de la probabilidad. Madrid: Tecnos, D.L. 1976, p. 289. ISBN 84-309-0663-0.
- ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 45. ISBN 0-521-55302-4.
- ↑ Sato, Ken-iti. Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge, U.K.: Cambridge University Press, 1999, p. 37-39. ISBN 0-521-55302-4.
- ↑ 11,0 11,1 Williams, D. Weighing the odds : a course in probability and statistics. Cambridge: Cambridge University Press, 2001, p. 164. ISBN 0-521-80356-X.
- ↑ Feller, William. Introducción a ls probabilidades y sus aplicaciones, vol. 2. Mexico: Editorial Limua, 1978, p. 76.
Bibliografia
- Hogg, R. V. and Craig, A. Introduction to Mathematical Statistics, 4th edition. Nova York: Macmillan, 1978. (Vegeu la secció 3.3.)
- Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. Continuous Univariate Distributions, Volume 1. 2a edició. Nova York: Wiley, 1994. ISBN 0-471-58495-9.
- Choi, S. C: and R. Wette, R. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69
Enllaços externs
- Weisstein, Eric W., «Gamma distribution» a MathWorld (en anglès).
- Engineering Statistics Handbook
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|