Distribució multinomial

Distribució multinomial

Tipus	distribució de probabilitat discreta i distribució conjunta
Paràmetres	${\displaystyle n\geq 1}$ nombre de repeticions, ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}\in (0,1)}$, amb ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1}$, probabilitats dels diferents resultats
Suport	${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{k})\in \{0,1,\dots ,n\}^{k}}$, amb ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}=n}$
Esperança matemàtica	${\displaystyle \operatorname {E} (X_{i})=np_{i}}$
Variància	${\displaystyle \operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})}$ ${\displaystyle \operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j},\ i\neq j}$
Entropia	${\displaystyle -\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)}$
FGM	${\displaystyle {\Big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{t_{j}}{\Big )}^{n},\ (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$
FC	${\displaystyle {\Big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}e^{it_{j}}{\Big )}^{n},\ (t_{1},\dots ,t_{k})\in \mathbb {R} ^{k}}$
FGP	${\displaystyle {\big (}\sum _{j=1}^{k}p_{j}z_{j}{\big )}^{n},\ (z_{1},\dots ,z_{k})\in \mathbb {C} ^{k}}$
Mathworld	MultinomialDistribution

En probabilitat i estadística la distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan en un experiment aleatori hi ha més de dos resultats possibles. Concretament, fem ${\displaystyle n}$ repeticions d'un experiment que té ${\displaystyle k}$ resultats diferents possibles i comptem el nombre de vegades que es produeix cadascun dels resultats possibles. Entre les nombroses aplicacions d'aquesta distribució en Estadística destaca el test de Pearson de la ${\displaystyle \chi ^{2}}$.

Definició

Considerem un experiment aleatori que pot tenir ${\displaystyle k}$ resultats diferents, que designarem per ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{k}}$, mútuament excloents, amb probabilitats respectives ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}\in (0,1)}$ tals que ${\displaystyle p_{1}+\cdots +p_{k}=1}$. Fem ${\displaystyle n}$ repeticions independents i denotem per ${\displaystyle X_{1}}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat ${\displaystyle R_{1}}$, per ${\displaystyle X_{2}}$ el nombre de vegades que obtenim el resultat ${\displaystyle R_{2}}$, i així successivament. Aleshores la probabilitat d'obtenir ${\displaystyle x_{1}}$ vegades el resultat ${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$ vegades el resultat ${\displaystyle R_{2}}$, etc., amb ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{k}=n}$, és

Cal recordar que a l'expressió de l'esquerra, les comes indiquen interseccions, així,Es diu que el vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})}$ segueix una distribució multinomial^[1][2] de paràmetres ${\displaystyle n,p_{1},\dots ,p_{k}}$, i s'escriu ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{k})}$. Cal notar que cada component ${\displaystyle X_{i}}$ té una distribució binomial de paràmetres ${\displaystyle n}$ i ${\displaystyle p_{i}}$, ${\displaystyle X_{i}\sim B(n,p_{i})}$. De fet, una distribució multinomial és una extensió de la distribució binomial quan hi ha més de dos resultats possibles.

Exemple. Tenim una urna amb 4 boles blanques, 3 vermelles i 3 grogues. Traiem ${\displaystyle n=4}$ boles amb reemplaçament, és a dir, traiem una bola, anotem el color, la retornem a l'urna, en traiem una altra, la retornem, i així successivament fins que hem tret quatre boles. Designem per:

${\displaystyle X_{1}}$: nombre de boles blanques que traiem.

${\displaystyle X_{2}}$: nombre de boles vermelles que traiem.

${\displaystyle X_{3}}$: el nombre de boles grogues que traiem.

Tenim que ${\displaystyle p_{1}=0'4}$, ${\displaystyle p_{2}=0'3}$ i ${\displaystyle p_{3}=0'3}$. Llavors, la probabilitat de treure 1 bola blanca, 1 vermella i 2 grogues és

Coeficients multinomials. Recordem ques'anomena coeficient multinomial.^[3] Aquest coeficient intervé en generalització de la fórmula del binomi de Newton quan hi ha més de dos sumands:on la suma es fa sobre totes les ${\displaystyle k}$-ples ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {\{} 0,1,\dots ,n\}^{k}}$ tals que ${\displaystyle x_{1}+\cdots +x_{k}=n}$. La fórmula (*) intervé a l'estudi de moltes propietats d'aquesta distribució.

Comentari sobre la nomenclatura. Atès que ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{k}=n}$ i que els paràmetres són redundants, ja que ${\displaystyle p_{1}+\cdots +p_{k}=1}$, alguns autors, per exemple Wilks,^[4] proposen una notació alternativa: diuen que un vector ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{k})}$ segueix una distribució multinomial de paràmetres ${\displaystyle n,p_{1},\dots ,p_{k}}$, on ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}\in (0,1),\ {\text{amb}}\ p_{1}+\cdots +p_{k}<1}$, si la funció de probabilitat és

on ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x_{i}\leq n}$. Seber,^[5] quan ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}=1}$, diu que és la forma singular de la distribució multinomial, mentre que si ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}p_{i}<1}$ és la formulació no singular. La notació que utilitzem en aquest article és la més habitual, però és recomanable comprovar quina definició de distribució multinomial s'està utilitzant.

Propietats

Esperança, variància i covariància

L'esperança de cada component és

La variància ésAmbdues propietats es dedueixen del fet que ${\displaystyle X_{j}}$ té una distribució binomial ${\displaystyle B(n,p_{j})}$.

Per a ${\displaystyle i\neq j}$, la covariància és (vegeu la demostració després de la funció característica)

D'aquí resulta que el coeficient de correlació entre ${\displaystyle X_{i}}$ i ${\displaystyle X_{j}}$ ésque és independent de ${\displaystyle n}$.

La matriu de variàncies-covariàncies és ${\displaystyle n{\boldsymbol {\Sigma }}}$, on

que té rang ${\displaystyle k-1}$.

Escriptura compacta de la matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$

La matriu ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ es pot escriure de la següent forma:

on ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=(p_{1},\dots ,p_{k})}$ (en aquest article escriurem tots els vectors en fila), ${\displaystyle {\text{Diag}}\ ({\boldsymbol {p}})}$ és una matriu diagonal amb els elements ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{k}}$, i per una matriu (o vector) ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$, denotarem per ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}'}$ la seva transposada.

Funció característica i funció generatriu de moments

La funció característica del vector ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})}$ és

La funció generatriu de moments ésLa funció generatriu de probabilitats és

Caràcter reproductiu

Siguin ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{d})\sim M(n;p_{1},\dots ,p_{d})}$ i ${\displaystyle {\boldsymbol {Y}}=(Y_{1},\dots ,Y_{d})\sim M(m;p_{1},\dots ,p_{d})}$ independents. Aleshores ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}+{\boldsymbol {Y}}\sim M(n+m;p_{1},\dots ,p_{k})}$. Es diu que la distribució multinomial és reproductiva respecte de ${\displaystyle n}$.^[4] També s'escriu

on ${\displaystyle *}$ designa la convolució de probabilitats.

Comportament asimptòtic

La distribució multinomial és asimptòticament normal

Com a conseqüència del teorema central del límit multidimensional, si considerem una successió ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{n}={\big (}X_{n1},\dots ,X_{nk}{\big )}\sim {\mathcal {M}}(n;p_{1},\dots ,p_{k})}$, ${\displaystyle n\geq 1}$, aleshores

on ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}=(p_{1},\dots ,p_{k})}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ és la matriu que hem introduït abans i ${\displaystyle {\mathcal {N}}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {\Sigma }})}$ és una distribució normal multidimensional centrada amb matriu de variàncies covariàncies ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$. Normalment, aquesta propietat s'escriu en components suprimint el subíndex ${\displaystyle n}$ de les variables ${\displaystyle X_{n1},\dots ,X_{nk}}$:

La distribució χ² entra en escena

Tenim la convergència:

on ${\displaystyle \chi ^{2}(k-1)}$ és una distribució ${\displaystyle \chi ^{2}}$-quadrat amb ${\displaystyle k-1}$ graus de llibertat. Aquest resultat és molt important ja que en ell reposen el test de la ${\displaystyle \chi ^{2}}$de Pearson i va ser demostrar per Pearson l'any 1900.^[9][10]

Relació amb la distribució de Poisson

Siguin ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{k}}$ variables independents, amb distribucions de Poisson ${\displaystyle Y_{1}\sim Pois(\lambda _{1}),\dots ,Y_{k}\sim Pois(\lambda _{k})}$. Aleshores la distribució de ${\displaystyle (Y_{1},\dots ,Y_{k})}$ condicionada a ${\displaystyle Y_{1}+\cdots +Y_{k}=n}$ és una distribució multinomial ${\displaystyle {\mathcal {M}}(n,\lambda _{1}/\lambda ^{*},\dots ,\lambda _{k}/\lambda ^{*})}$ on ${\displaystyle \lambda ^{*}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}}$^[18].

Vegeu també

Prova de la ${\displaystyle \chi ^{2}}$ de Pearson

Referències

Bibliografia

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrihsnan, N. Discrete Multivariate Distributions. Nova York: Wiley, 1997. ISBN 0-471-12844-1. 
• Forbes, C.; Evans, M.; Hastings, N.; Peacock, B. Statistical distributions.. 4th ed.. Oxford: Wiley-Blackwell, 2010, pp.135-136. ISBN 978-0-470-62724-2.