En teoria de la probabilitat, la distribució arcsinus és la distribució de probabilitat que té com a funció de distribució acumulativa:
![{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right)={\frac {\arcsin(2x-1)}{\pi }}+{\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/545a661772241694be9ee2bc39f05870cd73cb97)
per 0 ≤ x ≤ 1. La seva funció de densitat de probabilitat és:
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/500fbdb509236e85253d8bb0bf7087c022e8fe63)
on (0, 1). La distribució arcsinus estàndard és un cas particular de la distribució beta amb α = β = 1/2. És a dir, si
és la distribució arcsinus estàndard, llavors
.
La distribució arcsinus apareix a:
- en les lleis de l'arcsinus de Lévy;
- en la llei de l'arcsinus d'Erdős;
- en el mètode de Jeffreys per la probabilitat d'èxit en un assaig de Bernoulli.
Generalització
Suport de fita arbitrària
La distribució pot ser generalitzada per incloure qualsevol domini: a ≤ x ≤ b aplicant una simple transformació:
![{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888a7c04c908618f09a9a709df036209add2991d)
amb a ≤ x ≤ b, i amb una funció de densitat de probabilitat
![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d335de3d0c48e5c9bddeec6736466f67a908ecb9)
Factor de forma
Arcsinus amb domini fitatTipus | distribució univariant, distribució de probabilitat simètrica i Distribució beta ![Modifica el valor a Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/63/Arbcom_ru_editing.svg/10px-Arbcom_ru_editing.svg.png) |
---|
Paràmetres | ![{\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb722a971235b0ed2cf099e6b4d9dc3304936fa) |
---|
Suport | ![{\displaystyle x\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/026357b404ee584c475579fb2302a4e9881b8cce) |
---|
fdp | ![{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {(x-a)(b-x)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d335de3d0c48e5c9bddeec6736466f67a908ecb9) |
---|
FD | ![{\displaystyle F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {\frac {x-a}{b-a}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888a7c04c908618f09a9a709df036209add2991d) |
---|
Esperança matemàtica | ![{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1325e0aa44cdaf4b2e765a44c7109e6b9ed74e77) |
---|
Mediana | ![{\displaystyle {\frac {a+b}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1325e0aa44cdaf4b2e765a44c7109e6b9ed74e77) |
---|
Moda | ![{\displaystyle x\in {a,b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/999fb454fb8c6df54a5e6ce08fe4c2612a6f72de) |
---|
Variància | ![{\displaystyle {\tfrac {1}{8}}(b-a)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6dbe94e622bd18931f865e2de298a009d185a70) |
---|
Coeficient de simetria | ![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950) |
---|
Curtosi | ![{\displaystyle -{\tfrac {3}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af3fca3fdffc3add375d9a7c7e1dd6f6c11d8a73) |
---|
La distribució arcsinus estàndard generalitzada en (0,1) amb una funció de densitat de probabilitat
![{\displaystyle f(x;\alpha )={\frac {\sin \pi \alpha }{\pi }}x^{-\alpha }(1-x)^{\alpha -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc24fce8ca61df0352028d1c51de5bf0f2499c7d)
és també un cas particular de la distribució beta amb els paràmetres
.
Noti's que quan
la distribució arcsinus general es redueix a la distribució estàndard llistada anteriorment.
Propietats
- La distribució arcsinus té la propietat de translació i canvi d'escala per un factor positiu
- Si
![{\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(a,b)\ {\text{then }}kX+c\sim {\rm {Arcsine}}(ak+c,bk+c)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98d75dfdfdfcc6e05bfd98b5b514339f7b929f0)
- El quadrat d'una distribució arcsinus amb paràmetres (-1, 1) és una distribució arcsinus sobre (0, 1)
- Si
![{\displaystyle X\sim {\rm {Arcsine}}(-1,1)\ {\text{then }}X^{2}\sim {\rm {Arcsine}}(0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abf6bf9ae29606de33fbc3604ca45dd9362b82a)
Distribucions relacionades
- Si U i V són variables aleatòries independents i distribuïdes idènticament i uniformes (−π,π), llavors
,
,
,
i
tenen totes elles distribucions arcsinus
. - Si
és una distribució arcsinus generalitzada amb paràmetres de forma
de domini l'interval finit [a,b] llavors ![{\displaystyle {\frac {X-a}{b-a}}\sim {\rm {Beta}}(1-\alpha ,\alpha )\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ec719de1625b34c94aaba13cb6b885dba86ef67)
Vegeu també
Referències
|
---|
|
Distribucions discretes amb suport finit | |
---|
Distribucions discretes amb suport infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval acotat | |
---|
Distribucions contínues suportades sobre un interval semi-infinit | |
---|
Distribucions contínues suportades en tota la recta real | |
---|
Distribucions contínues amb el suport de varis tipus | |
---|
Barreja de distribució variable-contínua | |
---|
Distribució conjunta | |
---|
Direccionals | |
---|
Degenerada i singular | |
---|
Famílies | |
---|