Loi hyper-exponentielle

Loi hyper-exponentielle
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	n=1,2,... ${\displaystyle 0<p_{i}\leq 1}$ paramètres de mélange ${\displaystyle \lambda _{i}>0}$
Support	${\displaystyle x\in [0;+\infty [\,}$
Densité de probabilité	${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}\lambda _{i}e^{-\lambda _{i}y}}$
Fonction de répartition	${\displaystyle 1-\sum _{i=1}^{n}p_{i}e^{-\lambda _{i}y}}$
Espérance	${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle \displaystyle \prod _{i=1}^{N}{\frac {\lambda _{i}p_{i}}{\lambda _{i}+\xi }}}$
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi hyper-exponentielle (ou loi hyper-exponentielle-n) est une loi de probabilité continue mélangeant plusieurs lois exponentielles. Elle dépend de trois paramètres : n le nombre de lois exponentielles indépendantes, ${\displaystyle (\lambda _{i},1\leq i\leq n)}$ les paramètres de ces lois exponentielles et ${\displaystyle (p_{i},1\leq i\leq n)}$ une pondération de ces lois. Le terme hyper vient du fait que le coefficient de variation de la loi est supérieur à 1, comparativement à la loi hypo-exponentielle dont le coefficient de variation est inférieur à 1 et à la loi exponentielle dont le coefficient vaut 1.

C'est une loi utilisée dans la théorie des files d'attente^[1] dans le cas d'une simulation de n serveurs en parallèle.

Définition

La loi hyper-exponentielle est, en un certain sens, un mélange de plusieurs lois exponentielles. Notons ${\displaystyle (X_{i},1\leq i\leq n)}$ n lois exponentielles indépendantes de paramètres respectifs ${\displaystyle (\lambda _{i},1\leq i\leq n)}$ : ${\displaystyle X_{i}\sim {\mathcal {E}}(\lambda _{i})}$.

Les paramètres de mélange sont notés ${\displaystyle (p_{i},1\leq i\leq n)}$ et vérifient

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1,}$

Alors la loi de Y peut être obtenue de la manière suivante : on tire avec probabilité p_i le paramètre ${\displaystyle \lambda _{i}}$ que l'on prendra pour la loi exponentielle ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda _{i})}$ que suivra Y. On obtient ainsi une loi hyper-exponentielle de paramètres n, (p_i), (${\displaystyle \lambda _{i}}$). Cette loi sera notée : ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {H}}_{n}((p_{i}),(\lambda _{i}))}$.

Caractéristiques

La densité de probabilité de la loi hyper-exponentielle est la somme des densités des lois exponentielles :

${\displaystyle f_{Y}(y):={\begin{cases}\sum _{i=1}^{n}p_{i}\lambda _{i}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}y}&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

La fonction de répartition est donnée par :

${\displaystyle F_{Y}(y):={\begin{cases}1-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\mathrm {e} ^{-\lambda _{i}y}&{\text{ si }}y>0\\0&{\text{sinon.}}\end{cases}}}$

L'espérance est la somme pondérée des espérances des lois exponentielles :

${\displaystyle \mathbb {E} (Y)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {p_{i}}{\lambda _{i}}}}$

Applications

Puisque la loi exponentielle permet de simuler le temps de vie d'équipements en série, la loi hyper-exponentielle permet de simuler le temps nécessaire jusqu'à la prochaine réparation d'un système d'équipements en série lorsque le temps de vie peut être très court ou très long^[2].

En remplaçant l'idée de panne d'un appareil par l'idée plus générale d'un évènement, par exemple l'arrivée d'un client ou d'un appel téléphonique, la loi hyper-exponentielle modélise le temps d'attente jusqu'au prochain appel dans un centre d'appel contenant n serveurs.

Liens avec d'autres lois

• Si n=1, alors la loi hyper-exponentielle ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}(1,\lambda )}$ est la loi exponentielle ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\lambda )}$.
• Au même titre que la loi exponentielle est l'équivalent continu de la loi géométrique, la loi hyper-exponentielle est l'équivalent continu de la loi hypergéométrique.

Références

• Portail des probabilités et de la statistique