Sinuaren teorema

Trigonometrian, sinuaren teorema hiruki, trigono edo triangelu bateko angeluen eta haien aurkako aldeen ezaugarri batzuen arteko arrazoia konstantea dela ezartzen duen teorema da.

Bereziki, triangelu baten ebazpenean erabiltzen da, bi alde eta horietako baten aurkako angelua ezagunak direnean edota bi angelu eta aurkako alde bat ezagutzen direnean.

Sinuen legea trigonometria lauan

Trigonometria laua triangelu lauen ebazpenaz aritzen den trigonometriaren atala da; triangelu lauak lerro zuzen batean lerrokatuta ez dauden hiru puntutan binaka elkar ebakitzen duten hiru zuzenen puntuen arteko segmentuez, hiru puntuak kokatuta dauden planoan, osatzen diren izaki geometrikoak direla,

Haietan zuzenak elkar ebakitzen duten puntuak triangeluaren erpinak dira eta orokorrean letra larriz identifikatzen dira (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ eta ${\displaystyle C}$ normalean), erpinen arteko zuzenen segmentuak triangeluaren aldeak eta letra xehez identifikatu ohi dira (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ eta ${\displaystyle c}$ normalean), eta alde horien arteko angeluak triangeluaren angeluak eta letra greziar xehez identifikatzen dira (${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ eta ${\displaystyle \gamma }$ normalean).

Trigonometria lauan sinuen legea deitzen zaio

${\displaystyle {\frac {2}{abc}}S={\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}={\frac {1}{2r}}}$

berdintzen bidez adierazten diren hirukien propietate-multzoari.

Berdintza horietan ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ eta ${\displaystyle \gamma }$ hirukiaren angeluak, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ eta ${\displaystyle c}$ haien aurrez aurreko hirukiaren aldeak, ${\displaystyle S}$ hirukiaren azalera eta ${\displaystyle r}$ hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa direla.

Propietate horiek badirela frogatzeko bide ezberdin batzuk daude eta hemen, oraingoz, euretariko bat agertzen da.

Sinuen teorema

Hirukiaren azalera lortzeko hurrengo formulak erabil daitezke:

${\displaystyle S={\frac {ah_{\text{A}}}{2}}={\frac {bh_{\text{B}}}{2}}={\frac {ch_{\text{C}}}{2}}}$

Non ${\displaystyle h_{\text{A}}}$, ${\displaystyle h_{\text{B}}}$ eta ${\displaystyle h_{\text{C}}}$ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ eta ${\displaystyle c}$ aldeei dagozkien garaierak diren

Baina, sinuaren definizioa kontuan hartuta, alboko irudian ikus daiteke

${\displaystyle h_{\text{A}}=b{\sin \gamma }=c{sin\beta }}$

dela, eta modu berean

${\displaystyle h_{\text{B}}=a{\sin \gamma }=c{\sin \alpha }}$       eta

${\displaystyle h_{\text{C}}=a{\sin \beta }=b{\sin \alpha }}$

direnez hurrengoa idatz daiteke:

${\displaystyle {\frac {2}{abc}}S={\frac {2}{abc}}{\frac {ab{\operatorname {sin} \,\gamma }}{2}}={\frac {2}{abc}}{\frac {ac{\sin \beta }}{2}}={\frac {2}{abc}}{\frac {bc{\sin \alpha }}{2}}}$

eta sinplifikatuz

${\displaystyle {\frac {2}{abc}}S={\frac {\sin \gamma }{c}}={\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \alpha }{a}}}$

bestalde lehenengo irudian ikus daiteke ${\displaystyle {\widehat {BCD}}}$ angelua ${\displaystyle 90^{\circ }}$koa dela hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuan inskribatua izanda ${\displaystyle 180^{\circ }}$ko ${\displaystyle {\overset {\frown }{BAD}}}$ arkua besarkatzen duelako. Gainera ${\displaystyle {\widehat {BAC}}}$ eta ${\displaystyle {\widehat {BDC}}}$ angeluak berdinak dira, hirukiaren zirkunferentzia zirkunskribatuan inskribatuta egon eta bertan arku bera ( ${\displaystyle {\overset {\frown }{CEB}}}$ ) besarkatzen dutelako.

Aurrekoa kontuan hartuta      ${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{2r}}}$      da eta, beraz,      ${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{a}}={\frac {1}{2r}}}$.

Eta honenbestez, hiruki lauetan aurrean jarritako berdintzak betetzen direla frogatuta geratu da

Sinuen legea trigonometria esferikoan

Trigonometria esferikoa triangelu esferikoen ebazpenaz diharduen trigonometriaren atala da eta garrantzi handikoa da astronomia eta nabigazioaren esparruetan.

Triangelu esferikoak definitzerakoan planoak eta lerro zuzenak erabili beharrean esferak edo gainazal esferikoak eta esferen zirkulu nagusiak erabiltzen dira. Esfera batean zirkulu nagusiak esfera horren gainazalekoak eta esfera horren zentrotik igarotzen den plano batekoak batera diren puntuez osatutako zirkunferentziak direla.

Triangelu esferikoak zirkulu nagusi berean ez dauden hiru puntutan binaka elkar ebakitzen duten hiru zirkulu nagusien puntuen arteko arkuez, hiru puntuak kokatuta dauden gainazal esferikoan, osatzen diren izaki geometrikoak izanik,

Haietan zirkulu nagusiak elkar ebakitzen duten puntuak triangeluaren erpinak dira eta orokorrean letra larriz identifikatzen dira (${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ eta ${\displaystyle C}$ normalean), erpinen arteko zirkulu nagusien arkuak triangeluaren aldeak eta letra xehez identifikatu ohi dira (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ eta ${\displaystyle c}$ normalean), eta alde horiek kokatuta dauden planoek osatzen duten diedroen angeluak triangeluaren angeluak eta letra greziar xehez identifikatzen dira (${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ eta ${\displaystyle \gamma }$ normalean).

Aldeak neurtzeko ez dira erabiltzen arkuen luzerak, dagozkien zirkulu nagusietan dagozkien angeluak baizik.

Diedroen angeluak eta triangeluaren aldeei dagozkien zirkulu nagusien tangenteen arteko angeluak erpinetan berdinak dira. Hori dela eta, sarritan, irudietan ikur larregi ager ez dadin, angeluentzat ikur bereziak erabili barik, erpinenak erabiltzen dira, bai trigonometria lauan eta bai esferikoan. Atal honetan hori egin da.

Trigonometria esferikoan sinuen legea deitzen zaio

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$

berdintzen bidez adierazten diren hiruki esferikoen propietate-multzoari.

Sinuen teorema

Aurrean jarritako legea frogatzeko har ${\displaystyle \triangle {ABC}}$ triangelu esferiko bat unitate-erradioko esfera batean. Bertan:

${\displaystyle OA=OB=OC=1}$

Aukera ${\displaystyle D}$ puntua eta ${\displaystyle E}$ puntua ${\displaystyle \angle ADO}$ eta ${\displaystyle \angle AEO}$ angeluak ${\displaystyle 90^{\circ }}$koak izan daitezen

Aukera ${\displaystyle A'}$ puntua ${\displaystyle \angle A'DO}$ eta ${\displaystyle \angle A'EO}$ angeluak ${\displaystyle 90^{\circ }}$koak izan daitezen.

Orduan ${\displaystyle \angle ADA'=\angle B}$ eta ${\displaystyle \angle AEA'=\angle C}$ dira eta ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ren proiekzioa ${\displaystyle OBC}$ planoan.

${\displaystyle BO}$ lerroa ${\displaystyle AA'D}$ planoarekiko perpendikularra delako haren bi lerrorekiko ( ${\displaystyle AD}$ eta ${\displaystyle A'D}$ lerroak ) perpendikularra izateagatik eta horren ondorioz ${\displaystyle AA'D}$ planoa ${\displaystyle BO}$ lerroa barnean duten plano guztiekiko perpendikularra da eta haien artean ${\displaystyle BCO}$ planoarekiko; gauza bera esan ahal da ${\displaystyle CO}$ lerroa ${\displaystyle AA'E}$ planoa eta ${\displaystyle BCO}$ planoei buruz eta ${\displaystyle AA'D}$ eta ${\displaystyle AA'E}$ planoak ${\displaystyle BCO}$ planoarekiko perpendikularrak badira plano bi horiena den ${\displaystyle AA'}$ lerroa ere ${\displaystyle BCO}$ planoarekiko perpendikularra dalako.

Beraz      ${\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}$      dira eta hori eta      ${\displaystyle OA=1}$      dela kontuan hartuta, oinarrizko trigonometriaz, badakigu

${\displaystyle AD=\sin c}$

${\displaystyle AE=\sin b}$

${\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}$

berdintzak betetzen direla, eta ekuazio horiek elkartuz:

${\displaystyle \sin c\sin B=\sin b\sin C}$

${\displaystyle {\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$

Triangeluaren beste bi erpinekin eta dagozkien aurrez aurreko planoekin antzeko arrazoibidea erabiliz, triangelu esferikoen sinuen legea

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$

frogatuta dago.

Sinuen legea geometria hiperbolikoan

Geometria hiperbolikoan kurbatura ${\displaystyle -1}$ denean , sinuen legea hurrengo berdintzez zehazten da:

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$

eta ${\displaystyle B}$ angelu zuzena den kasu berezian hurrengoa betetzen da:

${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$

Geometria euklidearrean triangelu zuzen bateko angelu baten sinua aurreko aldea hipotenusaz zatituz lortzen dela esaten duen formularen analogoa den geometria hiperbolikoaren formula dena.

Sinuen legeen formulazio bateratua

${\displaystyle K}$ parametro erreal baten funtzioa ere den hurrengo sinu funtzio orokortua definituz^[1]:

${\displaystyle \sin _{K}x=x-{\frac {Kx^{3}}{3!}}+{\frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{\frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+\cdots .}$

Eta Gaussear kurbatura konstantea duten gainazaletan, kurbaturaren arabera hurrengoa jazoten da:

${\displaystyle K>0}$    denean    ${\displaystyle \sin _{K}x=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {(-K)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {\sin {x{\sqrt {K}}}}{\sqrt {K}}}}$

${\displaystyle K=1}$    denean    ${\displaystyle \sin _{K}x=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\sin x}$

${\displaystyle K=0}$    denean    ${\displaystyle \sin _{K}x=x+\prod _{n=1}^{\infty }0=x}$

${\displaystyle K<0}$    denean    ${\displaystyle \sin _{K}x=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {(-K)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}={\frac {\sinh {x{\sqrt {-K}}}}{\sqrt {-K}}}}$

${\displaystyle K=-1}$    denean    ${\displaystyle \sin _{K}x=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\sinh x}$

eta ${\displaystyle K}$ kurbatura konstanteko gainazaletan sinuen legea

${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{K}a}}={\frac {\sin B}{\sin _{K}b}}={\frac {\sin C}{\sin _{K}c}}\,.}$

adierazpen orokorraz irudikatu ahal da; eta ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ eta ${\displaystyle -1}$-ekin ordezkatzen denean, hurrenez hurren gorago aurkeztutako trigonometria euklidear, eliptiko (esferiko) eta hiperbolikoen sinuen legeen adierazpenak lortzen dira.

2 baino dimentsio gehiagoko espaziotan

${\displaystyle n}$-dimentsioko Euklidear espazioko ${\displaystyle n}$-dimentsioko simplex (i.e., triangelu (${\displaystyle n=}$2), tetraedro (${\displaystyle n=}$3), pentakoro (${\displaystyle n=}$4), e.a.) baterako , erpin batean elkartzen diren facet/aurpegitxoekiko bektore normalen sinu polarraren balio absolutua (${\displaystyle |\operatorname {psin} |}$), erpinaren aurrez aurrekoa den aurpegitxoaren hiperazaleraz zatituz gero emaitza berdina da, aukeratutako erpina edozein izanda ere. ${\displaystyle n}$-dimentsioko simplexen hiperbolumena irudikatzeko ${\displaystyle V}$ idatziz eta (${\displaystyle n}$-1)-dimentsioko aurpegitxoen hiperazaleren biderkadurarako ${\displaystyle P}$, erpin guztientzako arrazoiaren balioa hurrengoa da:

${\displaystyle {\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$

Adibidez, tetraedro batek lau triangeluar aurpegitxo ditu eta erpin batean batzen diren hiru aurpegitxoekiko bektore normalen sinu polarraren balio absolutua laugarren aurpegitxoaren azaleraz zatituz gero zatidura ez da aldatzen aukeratutako erpinarekin:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Azalera} _{1}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{3}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Azalera} _{2}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{4}} ){\bigr |}}{\mathrm {Azalera} _{3}}}={\frac {{\bigl |}\operatorname {psin} (\mathbf {n_{1}} ,\mathbf {n_{2}} ,\mathbf {n_{3}} ){\bigr |}}{\mathrm {Azalera} _{4}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3\operatorname {Bolumena} _{\mathrm {tetraedrorena} })^{2}}{2!~\mathrm {Azalera} _{1}\mathrm {Azalera} _{2}\mathrm {Azalera} _{3}\mathrm {Azalera} _{4}}}\,.\end{aligned}}}$

Erreferentziak

Ikus, gainera

• Trigonometria
• Kosinuaren teorema
• Tangentearen teorema

Kanpo estekak

• Datuak: Q170181
• Multimedia: Law of sines / Q170181