Analisi matematiko

Analisi matematikoa funtzioak eta haien eratorriak limite kontzeptua erabiliz aztertzen dituen matematikaren adarra da. Analisi matematikoari dagozkion ideia asko XVII. mendeko kalkulutik eratorriak dira, XIV. mendeko limite, jarraitasun, deribatu eta integral kontzeptu garrantzitsuen formalizazioaren ondorioz sortua. Nahiz eta arlo honen barnean kokatzen diren matematikako adar nagusi asko, hala nola, analisis erreala, analisi konplexua, analisi funtzioala, kalkulu diferentziala, kalkulu integrala, besteak beste; normalean "analisi matematikoak" oinarrizko kontzeptuen azterketari egiten dio erreferentzia, esaterako: segidak, serieak, jarraitasuna, beheren eta gorenen teoria, etab.

Kontzeptu garrantzitsuak

Espazio metrikoa

Matematikan espazio metrikoa multzo batek, ${\displaystyle X}$, eta bertako elementuen arteko distantzia (metrika) definitzen duen funtzio batek, ${\displaystyle d}$, osatzen dute. Zehazki, ${\displaystyle (X,d)}$ bikotean multzoa ez-hutstzat hartzen da (${\displaystyle X\not =\emptyset }$) eta ${\displaystyle d}$ distantzia funtzioak

${\displaystyle d\colon X\times X\rightarrow \mathbb {R} ,}$

ondorengo propietateak izan behar ditu:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$, eta ${\displaystyle d(x,y)=0}$ baldin eta soilik baldin ${\displaystyle x=y}$,
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$ (simetria),
3. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$ (desberdintza triangeluarra).

Analisi matematikoak espazio metrikoetan definituriko funtzioak aztertzen ditu; espazio metriko erabilienak zuzen erreala, plano konplexua, espazio euklidearra edo bektore espazioak izanik.

Segida eta limitea

Segida ${\displaystyle (a_{n})}$ zerrenda ordenatua da ${\displaystyle (a_{n}):=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots }$, non segidako elementuen ordenak garrantzia du eta elementu berdinak hainbat aldiz ager daitezke segidako posizio ezberdinetan. Segida baten propietate garrantzitsuenetako bat konbergentzia da; informalki, segida batek limitea duela diogu sekuentziako elementuak puntu batera hurbiltzen badira. Notazio matematikoan:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}$.

Aurreko ekuazioa formalki definitu daiteke segida errealentzat, non ${\displaystyle (a_{n})}$ segidak ${\displaystyle a}$ elementua limitetzat duela esaten dugun, edozein zenbaki erreal ${\displaystyle \varepsilon >0>}$ harturik, ${\displaystyle N>0}$ existitzen den, non ${\displaystyle n>N}$ bada, orduan ${\displaystyle |a-a_{n}|<\varepsilon }$. Definizioa edozein metrikatan definituriko segidetara orokortu dezakegu balio absolutu distantzia metrikako distantziaz ordezkatuz.

Balio errealdun funtzioen limiteak ere antzera definitu ditzakegu. ${\displaystyle f}$ funtzioak ${\displaystyle L}$ duela limitetzat ${\displaystyle c}$ zenbaki errealean diogu,

${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}$,

notazioa erabiliz, formalki:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\colon |x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon .}$

Kontuan hartu baditekeela funtzio batek punturen batean limiterik ez izatea, honelako kasuetan limitea ez dela existitzen diogu.

Deribatua

Emanik ${\displaystyle f}$ funtzioa, ${\displaystyle a}$ puntuan deribagarria dela esaten dugu, hondorengo limitea existitzen bada:

${\displaystyle f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}.}$

Integrala

Emanik ${\displaystyle f}$ funtzioa eta ${\displaystyle (a,b)}$ zuzen errealaren tarte bat, funtzioa tarte honetak integragarria dela dela esaten dugu, funtzioak definituriko grafoaren eta ardatz horizontalaren arteko area, zerrenda bertikal meheen limitetzat definiturik, existiten bada:

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\ dx=\lim _{\delta \to 0}\delta \sum _{n=0}^{[(b-a)/\delta ]}f(a+n\delta ).}$

Analisi matematikoaren adarrak

Analisi erreala

Analisi errealak zenbaki errealak eta balio errealdun funtzioak aztertzen ditu. Bereziki, funtzio eta segida errealen propietate analitikoak jorratzen ditu, hala nola; zenbaki errealen serieen konbergentzia eta limiteak, balio errealdun funtzioen jarraitutasuna, deribagarritasuna eta erlazionatutako propietateak.

Analisi konplexua

Analisi konplexua aldagai konplexudun funtzioak ikertzen ditu. Aldagai konplexudun funtzio deribagarriak (funtzio holomorfikoak deituak) beren Taylor seriearen berdinak direnez (hau da, analitikoak), analisi konplexua funtzio analitikoez arduratzen da bereziki. Matematikaren adar askotan erabilgarria da, besteak beste, geometria aljebraikoan, zenbakien teorian, matematika aplikatuan; baita fisikan ere, fluidoen dinamikan, termodinamikan, ingeniaritza elektrikoan eta, bereziki, eremu-teoria kuantikoan.

Matematikari protagonistak

• 
  Isaac Newton, 1689
• 
  Bernard Bolzano, XIX. mendea
• 
  Leibniz
• 
  Cauchy
• 
  Riemann

Kanpo estekak

• Datuak: Q7754
• Multimedia: Analysis / Q7754