Fasore

Fasorea (fase-bektore hitzen elkarketatik eratutako hitza) anplitudea (A), angelu-frekuentzia (ω) eta hasierako fasea (θ) denboran zehar konstanteak dituen funtzio sinusoidal bat zenbaki konplexu bidez irudikatzeko modu bat da. Fisikaren eta ingeniaritzaren esparruetan erabiliak dira.

General Electricen lan egiten zuen Charles Proteus Steinmetz matematikari eta ingeniariak sortu zituen fasoreak XIX. mendearen amaieran.

Ingeniaritza elektrikoaren ikuspegitik, fasoreak Laplaceren transformatuaren kasu partikular batetzat har daitezke, RLC zirkuitu batek trantsitorioei nola erantzuten dion deribatzeko erabiltzen dena. Halere, Laplaceren transformatua erabiltzeko zailagoa da; are eta gehiago egoera egonkorraren analisia egiteko.

Fasore-aritmetika

Konstante batekiko biderketa

$Ae^{i\theta }e^{i\omega t}\,$ fasorea $Be^{i\phi }\,$ konstante konplexuaz biderkatzeak beste fasore bat ematen du. Ondorioz, inplizitu dagoen sinusoidearen anplitude eta fase-aldaketa dakar:

{\begin{aligned}\operatorname {Re} \{(Ae^{i\theta }\cdot Be^{i\phi })\cdot e^{i\omega t}\}&=\operatorname {Re} \{(ABe^{i(\theta +\phi )})\cdot e^{i\omega t}\}\\&=AB\cos(\omega t+(\theta +\phi ))\end{aligned}}

Elektronikan $Be^{i\phi }\,$ gaiak inpedantzia irudikatzen du, denborarekiko independente dena. Hain zuzen ere, intentsitate-fasorea inpedantziaz biderkatuz gero, tentsio-fasorea lortzen da. Haatik, bi fasoreren arteko biderketak (edo erro karratua), berez bi sinusoideren arteko biderketa irudikatzen du eta ondorioz, maiztasun-osagai berriak sortuko lituzke. Hortaz, fasore-notazioarekin maiztasun bakarreko sistemak baino ezin dira irudikatu.

Diferentziazioa eta integrazioa

Fasore baten denboran zeharreko deribatuak edota integralak beste fasore bat ematen du emaitzatzat. ^[a] Adibidez:

{\begin{aligned}\operatorname {Re} \left\{{\frac {d}{dt}}(Ae^{i\theta }\cdot e^{i\omega t})\right\}=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot i\omega e^{i\omega t}\}=\operatorname {Re} \{Ae^{i\theta }\cdot e^{i\pi /2}\omega e^{i\omega t}\}=\operatorname {Re} \{\omega Ae^{i(\theta +\pi /2)}\cdot e^{i\omega t}\}=\omega A\cdot \cos(\omega t+\theta +\pi /2)\end{aligned}}

Ondorioz, fasore bidezko irudikapenean, sinusoidearen denboran zeharreko deribatua $i\omega =(e^{i\pi /2}\cdot \omega ).\,$ konstantearen bidezko biderketa bihurtzen da.

Antzeko eran, fasore bat integratzea ${\frac {1}{i\omega }}={\frac {e^{-i\pi /2}}{\omega }}.\,$ bidez biderkatzea da. Ez du eraginik denborarekiko dependentea den $e^{i\omega t}\,$ , faktorean.

Ekuazio diferentzial lineal bat fasore aritmetika erabiliz ebazten denean, merely factoring $e^{i\omega t}\,$ faktorea ekuazioko gai guztietatik kentzen da, ondoren emaitzan berriro sartzeko. Adibidez, ikus bedi RC zirkuitu bateko kondentsadorearen tentsioaren ekuazio diferentziala:

{\frac {d\ v_{C}(t)}{dt}}+{\frac {1}{RC}}v_{C}(t)={\frac {1}{RC}}v_{S}(t)

Zirkuituaren elikatze-tentsioa sinusoidala denean:

v_{S}(t)=V_{P}\cdot \cos(\omega t+\theta ),\,

ondorengo ordezkapenak eginez:

{\begin{aligned}v_{S}(t)&=\operatorname {Re} \{V_{s}\cdot e^{i\omega t}\}\\\end{aligned}}

v_{C}(t)=\operatorname {Re} \{V_{c}\cdot e^{i\omega t}\},

zeinetan fasorea $V_{s}=V_{P}e^{i\theta }den,\,$ eta $V_{c}\,$ zehaztu beharreko fasorea den.

Ekuazio diferentziala fasore-notazioan honakora murrizten da:^[b]:

i\omega V_{c}+{\frac {1}{RC}}V_{c}={\frac {1}{RC}}V_{s}

Kapazitorearen tentsioaren fasorea ebaztean:

V_{c}={\frac {1}{1+i\omega RC}}\cdot (V_{s})={\frac {1-i\omega RC}{1+(\omega RC)^{2}}}\cdot (V_{P}e^{i\theta })\,

Ageri denez, $V_{s}\,$ gaia biderkatzen duen faktoreak $v_{C}(t)\,$ gaiaren anplitude- eta fase-aldakuntzak irudikatzen ditu, $V_{P}\,$ eta $\theta .\,$ gaiekiko erlatiboak.

Koordenatu polarretara pasatzean:

{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot e^{-i\phi (\omega )},{\text{ non }}\phi (\omega )=\arctan(\omega RC){\text{ den }}.\,

Ondorioz:

v_{C}(t)={\frac {1}{\sqrt {1+(\omega RC)^{2}}}}\cdot V_{P}\cos(\omega t+\theta -\phi (\omega ))

Batuketa

Hainbat fasoreren batuketak beste fasore bat sortzen du.

Erabilerak

Zirkuituen legeak

Erresistentzietarako Ohmen legea: erresistentziak denborarekiko independenteak direnez, ez dago aldaketarik seinalearen fasean eta ondorioz V=I·R baliozkoa da.
Erresistentziak, kondentsadore eta hariletarako Ohmen legea: V=I·Z, non Z inpedantzia konplexua den.
Korronte alternoko zirkuituetan, alde batetik zirkuituaren batez besteko potentzia irudikatzen duen potentzia erreala (P) dago. Bestetik, atzerantz eta aurrerantz fluktuatzen duen potentzia irudikatzen duen potentzia erreaktiboa (Q). Bi gaiak batuz, potentzia konplexua (S=P+jQ) eta S-ren magnitudea den itxurazko potentzia zehaztu daitezke.
Kirchoffen zirkuituen legeak fasoreak irudikapen konplexuarekin baliozkoak dira.

Potentzia elektronika

Korronte alternoko zirkuitu trifasiko eta polifasikoen analisian fasoreak erabiltzen dira magnitudeak irudikatzeko. Fasoreen erabilpenak kalkuluak errazten du.

Telekomunikazioak: modulazio analogikoak

Fasoreak modulazio analogikoak ulertzeko baliagarriak dira, hala nola, anplitude modulatua eta frekuentzia modulatua.

$x(t)=\Re e\left\{Ae^{j\theta }.e^{j2\pi f_{0}t}\right\}$ , non giltzen arteko gaia plano konplexuko errotazio-bektoretzat hartzen den.

Fasoreak $A$ luzera du, erloju orratzen kontrako noranzkoan biratzen du $f_{0}$ bira segundoko, eta $t=0$ unean $\theta$ angelua du ardatz erreal positiboarekiko.