Baliokidetasun-erlazio

Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek ${\displaystyle A}$ multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz. ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ baliokidetasun-erlazioa da baldin eta erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra bada.

Definizioa

Izan bedi${\displaystyle A}$ multzo ez huts bat eta ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ multzoaren gaineko erlazio bat. Erlazio hori baliokidetasun erlazioa izango da, baldin eta honako propietate hauek betetzen baditu:

• Erreflexiboa bada, hau da, ${\displaystyle A}$ multzoko elementu oro bere buruarekin erlazionaturik badago.

${\displaystyle \forall x\in A:\ x{\mathcal {R}}x}$

• Simetrikoa bada, ${\displaystyle A}$ multzoko ${\displaystyle x}$ elementu bat multzoko beste ${\displaystyle y}$ elementu batekin erlazionatuta egonik, ${\displaystyle y}$ ere ${\displaystyle x}$-rekin erlazionaturik badago.

${\displaystyle \forall x,y\in A:\ x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x}$

• Iragankorra (edo trantsitiboa) bada: ${\displaystyle A}$ multzoko elementu bat multzoko beste elementu batekin erlazionatuta badago, eta beste elementu hori hirugarren batekin; hasierako elementua hirugarrenarekin erlazionatuta badago:

${\displaystyle \forall x,y,z\in A,\ x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\;\Rightarrow x{\mathcal {R}}z}$

Idazkera

${\displaystyle A}$ multzoko ${\displaystyle a}$ eta ${\displaystyle b}$-ren arteko baliokidetasun-erlazioa ${\displaystyle a\sim b}$ edo ${\displaystyle a\equiv b}$ moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta ${\displaystyle a\sim _{R}b}$, ${\displaystyle a\equiv _{R}b}$ edo ${\displaystyle a{\mathcal {R}}b}$, hala ez bada.

${\displaystyle A}$ multzoan ezarritako ${\displaystyle \sim }$ baliokidetasun-erlazioa, ${\displaystyle (A,\sim )\,}$ bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Aritmetika modularrean ${\displaystyle a\equiv b(mod{\mathcal {R}})}$ (${\displaystyle a}$ baliokide ${\displaystyle b}$ modulu ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$) bezala adierazten da.

Baliokidetasun klasea

${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu ${\displaystyle A}$ multzoan. ${\displaystyle x\in A}$ elementua emanik, ${\displaystyle x}$-rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako baliokidetasun-klase hau definitzen dute:

${\displaystyle [x]=\{y\in A\,\mid y{\mathcal {R}}x\}}$

Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari ordena deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.

Partiketa

X-ren partiketa bat X-ren azpimultzo ez-hutsen P multzo bat da; beraz, X-ren elementu bakoitza P-ren elementu bakar baten elementua da. Gainera, P-ren elementuak binaka disjuntoak dira, eta haien lotura X da.

Adibideak

Baliokidetasun erlazioa eta klaseak

${\displaystyle \lbrace a,b,c\rbrace }$ multzoan ${\displaystyle \lbrace (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\rbrace }$ erlazioak betetzen badira, erlazioaren baliokidetasun klaseen multzoak honako hauek dira:

${\displaystyle [a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}}$

Erlazio honetako baliokidetasun klase guztien multzoa ${\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}}$ da.

Baliokidetasun erlazioak

• Triangelu guztien multzoan "Antzekoak dira" edo "Kongruentea da".
• Zenbaki osoen multzoan "Kongruentea da modulu n".
• Funtzio baten eremuko elementuetan "Irudi bera dute".
• Zenbaki errealen multzoan "Balio absolutu bera du".
• Angelu guztien multzoan "Kosinu bera du".
• Berdintza matematikoa.

Erreferentziak

• Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
• Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
• Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
• Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids. Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
• John Randolph Lucas, 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
• Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
• Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

Kanpo estekak

• Datuak: Q130998
• Multimedia: Equivalence relations / Q130998