Aljebra multilineal

Aljebra multilineala Matematikan aljebra linealeko metodoak orokortzen dituen azterketa-eremua da. Aztergaiak espazio bektorialen produktu tentsorialak eta espazioen arteko transformazio multilinealak dira.^[1][2]

Notazioa

Aljebra multilinealak indize anitzeko notazioaren erabilera intentsiboa egiten du. Horrelako notazio baten bidez, konbinazio linealak bi indize edo gehiago errepikatuz adierazten dira.

• Oinarrizko kasuan (1 mailako tensore, kontrabariantea), Einsteinen baturaren konbentzioa erabiliz: ${\displaystyle \scriptstyle X=X^{s}e_{s}\,}$ Horrek adierazten du X objektua konbinazio lineala dela:

${\displaystyle \scriptstyle \sum _{s=1}^{n}X^{s}e_{s}=X^{1}e_{1}+X^{2}e_{2}+\cdots +X^{n}e_{n}}$

${\displaystyle \scriptstyle e_{s}\,}$ oinarrizko bektoreen gainean, eta X-ren osagaiak deituriko ${\displaystyle \scriptstyle X^{s}\,}$balioen gainean, non ${\displaystyle n}$ hemen baita X "bizi" den espazioaren dimentsioa (aljebraikoa). Konbentzioz, 1-kontratensore deitzen zaie.

• 1. mailan ere 1. tensorea dago, hau da, funtzio linealak aukeratutako espaziotik eskalarren gorputzera. ${\displaystyle \scriptstyle i^{s}}$ funtzio linealen konbinazio lineal gisa idazten dira, ${\displaystyle \scriptstyle i^{s}(e_{\sigma })={\delta ^{s}}_{\sigma }}$betetzen duten ${\displaystyle \scriptstyle V\to \mathbb {K} }$ transformazio lineal gisa, non (klasikoki bezala) Kronecker-en delta erabiltzen ari den. Hala, edozein ${\displaystyle \scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K} }$ kobektore honela idazten da:${\displaystyle \scriptstyle f=f_{s}e^{s}\,}$ Notazioa hori honela laburtu daitekeela: ${\displaystyle \scriptstyle f=f_{1}e^{1}+\cdots +f_{n}e^{n}\,}$
• Bigarren mailako tentsoreak:
  • Kontrabarianteko bi heineko tentsore bat da hau:${\displaystyle \scriptstyle B=B^{st}e_{s}\otimes e_{t}}$
  • Kobarianteko bi heineko tensorea da. ${\displaystyle \scriptstyle C=C_{st}e^{s}\otimes i^{t}}$
  • Eta bi heineko tensore misto bat da hau: ${\displaystyle \scriptstyle D={D^{s}}_{T}e_{s}\otimes e_{t}}$ Horrek bi-indezedun konbinazio lineal bat adierazten du.

Adibidez:

${\displaystyle \scriptstyle B=B^{11}e_{1}\otimes e_{1}+B^{12}e_{1}\otimes e_{2}+B^{21}e_{2}\otimes e_{1}+B^{22}e_{2}\otimes e_{2}}$

espazioaren dimentsioa bi bada.

• Aurrekoa orokortuz, ${\displaystyle \scriptstyle {A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}}$ idazten da A tensore misto baten osagaiak irudikatzeko , p-kontrabariante eta q-kobariantea baita. Baina

${\displaystyle \scriptstyle A={A^{i_{1}i_{2}...i_{p}}}_{j_{1}j_{2}...j_{q}}e_{I_{1}}\otimes \cdots \otimes e_{i_{p}}\otimes i^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes i^{j_{q}}}$

indexatutako konbinazio lineal bat adierazten du.

Hori guztia kontuan hartzeko, kontuan hartu behar izan da bektore-espazioa n dimentsio finitua duela.

Produktu tentsoriala

V eta W bi bektore-espazio baditugu, dagozkien oinarriekin, haien produktu tentsoriala definitzen da${\displaystyle \{b_{1},...,b_{n}\}}$${\displaystyle \{c_{1},...,c_{m}\}}$

${\displaystyle \scriptstyle V\otimes W:=\langle \{b_{i}\otimes c_{j}\}\rangle }$

hau da, sinbolo berriek sortutako espazio bektoriala

${\displaystyle \scriptstyle \{b_{1}\otimes c_{1},b_{1}\otimes c_{2},...,b_{n}\otimes c_{m-1},b_{n}\otimes c_{m}\}}$

Eta, beraz, ${\displaystyle \scriptstyle V\otimes W}$ espazioan bizi den (edo horren parte den) objektu bat, konbinazio lineal gisa adieraz daiteke.

${\displaystyle \scriptstyle X=X^{11}b_{1}\otimes C_{1}+X^{12}b_{1}\otimes C_{2}+\cdots +X^{ij}b_{i}\otimes c_{j}+\cdots +X^{nm}b_{n}\otimes c_{m}}$

eta honela laburtu daiteke

${\displaystyle \scriptstyle X=X^{st}b_{s}\otimes c_{t}}$ s edo t indize errepikatuak, behin gora eta behin behera —batutze-hitzarmenaren arabera—, banan-banan.

Definizio hori guztiz abstraktua da, baina algebraren ikuspuntutik ez dago inolako arazorik produktu tensorialaren aukera guztiak aztertzean. Espazio pila bat (eta garrantzi handikoa) sortzen da V bektore-espazioa eta ${\displaystyle V^{*}}$ bere espazio dual bat espazioak kontsideratzen direnean:

${\displaystyle \scriptstyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }}$

${\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{*}={\rm {Hom}}(V)}$

${\displaystyle \scriptstyle V^{*}=\Lambda ^{1}(V)\,}$

${\displaystyle \scriptstyle V\wedge V}$

${\displaystyle \scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,}$

Horiek guztiak egunero erabiltzen dira geometria diferentzialean, geometria aljebraikoan, aljebra konmutatiboan, erlatibitatean eta kuantikoan, QFT teorian, TQFT teorian eta beste batzuetan.

Tensoreak eta formak

Bedi ${\displaystyle V}$ espazio bat ${\displaystyle b_{i}}$-ekin sortua. Sinboliza dezagun ${\displaystyle \beta ^{\mu }}$-rekin ${\displaystyle \scriptstyle V^{*}}$ oinarri duala, ${\displaystyle \scriptstyle V^{*}\otimes V^{*}}$ multiespazioko edozein elementu honela idazten da: ${\displaystyle \scriptstyle B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}$. Adierazpen hori funtzio bilineal gisa ikus daiteke

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}V\times V&{\stackrel {B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} \\\scriptstyle (b_{i},b_{j})&\mapsto &B_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})=B_{ij}\\\end{array}}}$

jakinik${\displaystyle \scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b_{i},b_{j})={\delta ^{\mu }}_{i}{\delta ^{\nu }}_{j}}$ dela, non ${\displaystyle \delta }$ Kronecker-en delta.

Garatutako kontzeptu batzuk (zerrenda guztiz osatu gabea)

• tensore
• espazio dual
• Bobektoreak
• geometria diferentziala
• tensore-kalkulua
• analisi bektoriala
• bektoreen kobariantza eta kontraxia
• tensore metrikoa
• deribatu kobariantea
• konexioa
• Riemann-en kurbadura-tensorea
• Christoffelen ikurrak
• kanpoko aljebra
• forma diferentziala
• kurbadura
• Stokesen teorema
• Levi-Civita ikurra
• Atala (matematika)
• Eremu bektoriala
• Eremu tensoriala
• Pullback

Erreferentziak

Bibliografia

• Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Extension Theory [Die Ausdehnungslehre]. Translated by Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9049-3.
• Fleming, Wendell H. (1977). "Exterior algebra and differential calculus". Functions of several variables. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. pp. 275–320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7_7. ISBN 978-1-4684-9461-7. OCLC 2401829.
• Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54 (1): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.
• Shaw, Ronald (1983). Multilinear algebra and group representations. Linear Algebra and Group Representations. Vol. 2. Academic Press. ISBN 978-0-12-639202-9. OCLC 59106339.

Ikus, gainera

• Aljebra lineal

Kanpo estekak

• Datuak: Q1197190
• Multimedia: Multilinear algebra / Q1197190