Zagadnienie własne dla operatora Laplace’a

Ten artykuł należy dopracować: → poprawić styl – powinien być encyklopedyczny, z podręcznikowego na encyklopedyczny. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Operator T odwrotny do operatora Laplace’a definiujemy następująco. Rozpatrzmy zagadnienie własne dla równania Poissona z zerowymi warunkami brzegowymi, tj.

${\displaystyle {\begin{cases}-\triangle {u(x)}=\lambda {u(x)},&x\in \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega \end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ jest wartością własną operatora Laplace’a, a funkcja ${\displaystyle u(x)\neq 0}$ funkcją własną. W języku przestrzeni Sobolewa możemy napisać, że ${\displaystyle u\in W_{0}^{1,2}.}$ Zdefiniujmy operator:

${\displaystyle T:L^{2}(\Omega )\to W_{0}^{1,2}(\Omega )\subseteq L^{2}(\Omega )}$

następująco:

${\displaystyle T(f)=u\Leftrightarrow -\triangle u=f,}$

tj. ${\displaystyle u}$ jest słabym rozwiązaniem równania Poissona.

Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace’a

1. Operator ${\displaystyle T}$ jest dobrze określony, liniowy, ciągły.
2. Operator ${\displaystyle T}$ jest zwarty.
3. Operator ${\displaystyle T}$ jest samosprzężony.

Wartości własne operatora Laplace’a

Z twierdzenia spektralnego dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:

1. Wszystkie wartości własne operatora Laplace’a na ograniczonym obszarze ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ są dodatnie, mają skończone krotności, a ${\displaystyle +\infty }$ jest punktem skupienia wartości własnych.
2. Istnieje baza ortonormalna przestrzeni ${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$ złożona z funkcji własnych laplasjanu.