Klasyczny oscylator harmoniczny

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym

${\displaystyle U={\frac {m\omega _{0}^{2}}{2}}\cdot x^{2},}$

bądź równoważnie jako układ, w którym działa siła ${\displaystyle {\vec {F}}}$ przeciwnie skierowana do wychylenia układu od położenia równowagi i proporcjonalna do wychylenia

${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}$

gdzie k - współczynnik proporcjonalności.

Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne

Definicja oscylatora harmonicznego

Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem zwanym równaniem oscylatora harmonicznego

${\displaystyle a(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=0,}$

gdzie:

${\displaystyle a(t)}$ – przyspieszenie zależne od czasu,

${\displaystyle x(t)}$ – położenie zależne od czasu,

${\displaystyle \omega _{0}}$ – częstość kołowa drgań oscylatora.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+\omega _{0}^{2}x(t)=0}$

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką

${\displaystyle {\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.}$

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

Rozwiązanie równania oscylatora

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci

1. ${\displaystyle x(t)=A\sin(\omega _{0}t)+B\cos(\omega _{0}t)}$
2. ${\displaystyle x(t)=C\sin(\omega _{0}t+\varphi )}$
3. ${\displaystyle x(t)=D\cos(\omega _{0}t+\varphi ')}$
4. ${\displaystyle x(t)=Fe^{i\omega _{0}t}+Ge^{-i\omega _{0}t},}$

gdzie ${\displaystyle A,B,C,\varphi ,D,\varphi ',F,G}$ to stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.

${\displaystyle \omega _{0}}$ jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań ${\displaystyle T}$ wynosi

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}},}$

natomiast częstotliwość drgań ${\displaystyle \nu }$ wynosi

${\displaystyle \nu ={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}.}$

Lagranżjan oscylatora

Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {m{\dot {q}}^{2}}{2}}-{\frac {m\omega _{0}^{2}q^{2}}{2}},}$

gdzie:

${\displaystyle {\dot {q}}}$ – prędkość uogólniona,

${\displaystyle q}$ – położenie uogólnione.

Reszta oznaczeń bez zmian.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego

Hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega _{0}^{2}q^{2}}{2}},}$

gdzie:

${\displaystyle p}$ – pęd uogólniony,

${\displaystyle q}$ – położenie uogólnione.

Przykłady oscylatorów

Wahadło matematyczne

Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci

${\displaystyle ml\epsilon =-mg\sin \alpha .}$

Dla małych kątów ${\displaystyle \alpha ,\;\sin \alpha \approx \alpha ,}$ a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego

${\displaystyle {\ddot {\alpha }}+{\frac {g}{l}}\alpha =0}$

${\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {g}{l}},}$

gdzie:

${\displaystyle \epsilon }$ – przyspieszenie kątowe,

${\displaystyle \alpha }$ – kąt odchylenia z położenia równowagi,

${\displaystyle l}$ – długość wahadła,

${\displaystyle g}$ – przyspieszenie ziemskie.

Ciało na sprężynie

 Osobny artykuł: Masa na sprężynie.

Ciało o masie ${\displaystyle m,}$ przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli amplituda ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\vec {F}}=-k\cdot {\vec {x}}.}$

Z II zasady dynamiki Newtona można obliczyć przyspieszenie ${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.}$ Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi ${\displaystyle x,}$ otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego

${\displaystyle a(t)+{\frac {k}{m}}x(t)=0,}$

gdzie:

${\displaystyle x}$ – wychylenie ciężarka z położenia równowagi,

${\displaystyle a}$ – przyspieszenie ciężarka,

${\displaystyle m}$ – masa ciężarka,

${\displaystyle k}$ – stałą sprężystości sprężyny.

Dla ciężarka o masie ${\displaystyle m}$ wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym ${\displaystyle g}$ i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

Oscylator harmoniczny tłumiony

W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{o}^{2}x=0.}$

Oscylator harmoniczny wymuszony

Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.

Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),}$

gdzie:

${\displaystyle \omega _{0}}$ – częstość drgań własnych.

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych ${\displaystyle \cos(\omega t).}$

Dlatego analizę równania można ograniczyć do

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x=A\cos(\omega t),}$

gdzie:

${\displaystyle \omega }$ – częstość siły wymuszającej,

${\displaystyle A}$ – amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,

${\displaystyle \beta }$ – współczynnik tłumienia.

W przypadku, gdy ${\displaystyle A=0,}$ uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założy się, że ${\displaystyle \beta =0,}$ równanie oscylatora prostego.

Zobacz też

• kwantowy oscylator harmoniczny
• wahadło