Rozkład zero-jedynkowy

Rozkład zero-jedynkowy
Parametry

0 < p < 1 {\displaystyle 0<p<1}
(liczba rzeczywista)

Nośnik

{ 0 , 1 } {\displaystyle \{0,1\}}

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa

1 p dla  k = 0 p dla  k = 1 {\displaystyle {\begin{matrix}1-p&{\mbox{dla }}k=0\\p&{\mbox{dla }}k=1\end{matrix}}}

Dystrybuanta

0 dla  k < 0 1 p dla  0 k < 1 1 dla  k 1 {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{dla }}k<0\\1-p&{\mbox{dla }}0\leqslant k<1\\1&{\mbox{dla }}k\geqslant 1\end{matrix}}}

Wartość oczekiwana (średnia)

p {\displaystyle p}

Moda

0 dla  p < 1 2 0 ; 1 dla  p = 1 2 1 dla  p > 1 2 {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{dla }}p<{\tfrac {1}{2}}\\0;1&{\mbox{dla }}p={\tfrac {1}{2}}\\1&{\mbox{dla }}p>{\tfrac {1}{2}}\end{matrix}}}

Wariancja

p ( 1 p ) {\displaystyle p(1-p)}

Współczynnik skośności

1 2 p p ( 1 p ) {\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {p(1-p)}}}}

Kurtoza

6 p 2 6 p + 1 p ( 1 p ) {\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}

Entropia

( 1 p ) ln ( 1 p ) p ln ( p ) {\displaystyle -(1-p)\ln(1-p)-p\ln(p)}

Funkcja tworząca momenty

1 p + p e t {\displaystyle 1-p+pe^{t}}

Funkcja charakterystyczna

1 p + p e i t {\displaystyle 1-p+pe^{it}}

Odkrywca

Jakob Bernoulli

Rozkład zero-jedynkowydyskretny rozkład prawdopodobieństwa, szczególny przypadek rozkładu dwupunktowego, dla którego zmienna losowa przyjmuje tylko wartości: 0 i 1.

Jest on na przykład rezultatem doświadczenia (zwanego próbą Bernoulliego), w wyniku którego określone zdarzenie A {\displaystyle A} wystąpi lub nie wystąpi.

Wówczas jeżeli

P ( A ) = p , {\displaystyle P(A)=p,}

to

P ( A ¯ ) = 1 p = q , {\displaystyle P({\bar {A}})=1-p=q,}

gdzie A ¯ {\displaystyle {\bar {A}}} oznacza zdarzenie przeciwne, oraz

P ( X = 1 ) = p , {\displaystyle P(X=1)=p,}
P ( X = 0 ) = q . {\displaystyle P(X=0)=q.}

W krajach anglojęzycznych rozkład ten nazywany jest Bernoulli distribution. W polskim piśmiennictwie jednak zwyczajowo rozkład Bernoulliego oznacza rozkład dwumianowy.

  • Britannica: topic/standardized-random-variable
  • Catalana: 0009539