Monoid
Monoid[1] (z gr. μονοειδές od μόνος monos „jedyny” i εἶδος eîdos „wygląd, postać, kształt”) – półgrupa, której działanie ma element neutralny[2]. Formalnie monoid to algebra sygnatury gdzie jest niepustym zbiorem, natomiast
jest działaniem dwuargumentowym, spełniającym warunki:
- ( jest elementem neutralnym),
- (działanie jest łączne).
Szczególny przypadek monoidu stanowi grupa. Wynika stąd następujące zawieranie:
- klasa półgrup klasa monoidów klasa grup.
Każdy monoid jest izomorficzny z półgrupą wszystkich endomorfizmów pewnej algebry Jest to uogólnienie twierdzenia Cayleya.
Przykłady
- Liczby naturalne (koniecznie z zerem) z działaniem dodawania: elementem neutralnym jest w tym przypadku zero.
- Liczby naturalne (z zerem bądź bez) z działaniem mnożenia: elementem neutralnym tego monoidu jest 1 (w obu przykładach).
- Przedziały dowolnego zbioru częściowo uporządkowanego (posetu) tworzą monoid z działaniem przekroju zbiorów. Elementem neutralnym jest tutaj cały rozważany poset[potrzebny przypis].
- Każdej półgrupie można przyporządkować jej monoid w następujący sposób[3]:
- Jeśli ma element neutralny to monoidem tym jest
- Jeśli nie ma elementu neutralnego, to monoidem tym jest dla pewnego przy czym:
- dla wszystkich zachodzi
- dla każdego spełniona jest równość
- Monoid wolny[4]. – zbiór słów nad alfabetem z jako słowem pustym i jako operacją konkatenacji. Jeśli to słowami są na przykład: a przykładami konkatenacji są:
- Własność uniwersalności monoidu wolnego[5]. Po utożsamieniu elementów zbioru ze słowami jednoelementowymi można uznać za podzbiór monoidu wolnego
- przy czym podzbiór ten generuje i odwzorowanie
- ma następującą własność uniwersalności: dla dowolnego odwzorowania zbioru w monoid
- istnieje jedyny taki homomorfizm
- dla którego następujący diagram jest przemienny.
- Zbiór wszystkich odwzorowań dowolnego zbioru w zbiór wraz z działaniem składania odwzorowań tworzy monoid. Jedynką jest w nim odwzorowanie identycznościowe na Półgrupę tę nazywa się często pełną półgrupą przekształceń lub półgrupą symetryczną.
- Jeśli jest monoidem, jest półgrupą, a jest homomorfizmem na to jest monoidem[6].
Przypisy
Bibliografia
- J.S. Milne: Group Theory. [dostęp 2011-08-23].
- Скорняков Л.А.: Элементы алгебры. Москва: Наука, 1986.
Literatura dodatkowa
- A.H. Clifford, G.B. Preston: The algebraic theory of semigroups. Wyd. 1. American Mathematical Society, 1964.
Linki zewnętrzne
- Monoid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].
- p
- d
- e
z jednym działaniem wewnętrznym – grupoidy (magmy) |
| ||||
---|---|---|---|---|---|
z dwoma działaniami wewnętrznymi |
| ||||
z działaniem wewnętrznym i zewnętrznym |
| ||||
z dwoma działaniami wewnętrznymi i zewnętrznym | |||||
inne |
|
- Treccani: monoide
- Catalana: 0124602