ボホナー空間

数学の分野におけるボホナー空間（ボホナーくうかん、英: Bochner space）とは、必ずしも実数の空間 R あるいは複素数の空間 C とは限らないバナッハ空間に値を取る関数への、Lp空間の概念の一般化である。

ボホナー空間 L^p(X) は、バナッハ空間 X に値を取るボホナー可測関数 f で、そのノルム ||f||_X が通常の L^p 空間に属するようなもの全ての同値類からなる。したがって、X が複素数の集合であるなら、ボホナー空間は通常のルベーグ空間 L^p となる。

L^p 空間に関するほとんど全ての結果は、ボホナー空間についても同様に得られる。特に、ボホナー空間 L^p(X) は ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ に対してバナッハ空間である。

背景

ボホナー空間は、ポーランド系アメリカ人数学者のサロモン・ボホナーの名にちなむ。

応用

ボホナー空間は、時間依存の偏微分方程式、例えば熱方程式の研究へのアプローチとしての関数解析学において、しばしば用いられる。温度 ${\displaystyle g(t,x)}$ が時間および空間についてのスカラー関数であるとき、${\displaystyle (f(t))(x):=g(t,x)}$ と書くことで、f を時間についての関数とし、f(t) を空間についての関数とすることが、いくつかのボホナー空間においては可能となる。

定義

測度空間 (T, Σ, μ)、バナッハ空間 (X, || · ||_X) および 1 ≤ p ≤ +∞ が与えられたとき、ボホナー空間 L^p(T; X) は、対応するノルムが有限であるような全ての可測関数 u : T → X の空間の（等号はほとんど至る所についてのものであるような）コルモゴロフ商として定義される。すなわち、そのような u に対しては

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ for }}1\leq p<\infty ,}$

${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty }$

が成立する。言い換えると、L^p 空間の研究においてよくあるように、L^p(T; X) は関数の同値類であって、そこでは二つの関数が等しいとは、T の μ-測度ゼロの部分集合を除いた至る所でそれらが等しいことを言う。そのような空間の研究においてよくあるように、それは（より技術的には正しい）同値類と言うよりは、L^p(T; X) の「関数」と言う記号の濫用がよく見受けられる。

偏微分方程式への応用

空間 T は偏微分方程式を解こうとしている時間区間で、μ は一次元ルベーグ測度であるようなことが頻繁にある。ここでのアイデアは、時間および空間の関数を、空間の関数の集まりと見なし、その集まりが時間についてパラメータ付けられるものとすることである。例えば、Rⁿ 内の領域 Ω および時間区間 [0, T] 上の熱方程式の解としては、

${\displaystyle u\in L^{2}\left([0,T];H_{0}^{1}(\Omega )\right)}$

および時間微分が

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\in L^{2}\left([0,T];H^{-1}(\Omega )\right)}$

であるようなものを探すであろう。ここで ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ は、一回弱微分可能でその一回弱微分が L²(Ω) に属し、Ω の境界上で（トレースの意味で）消失するような関数からなるソボレフヒルベルト空間を表す。あるいはそのような関数は、Ω にコンパクトな台を持つような滑らかな関数の極限でもある。${\displaystyle H^{-1}(\Omega )}$ は ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$ の双対空間を表す。

（ボホナー空間を使うことで空間依存性は除かれるため、上記の時間 t についての偏微分は実際には全微分である。）

参考文献

• Evans, Lawrence C. (1998). Partial differential equations. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2 

関連項目

• ベクトル値関数

表 話 編 歴 関数解析学
集合 / 部分集合のタイプ	均衡 星状 絶対凸 凸 併呑 有界（英語版） 放射状（英語版） 対称（英語版） 線型錐（部分集合） 凸錐（部分集合）
線型位相空間のタイプ	バナッハ 樽型 界相 Brauner（英語版） F-空間 有限次元 フレシェ (tame) ヒルベルト LF空間 局所凸 マッキー（英語版） モンテル 核型 ノルム付き（ノルム） 準ノルム付き 回帰的 リース スミス（英語版） Stereotype（英語版） ウェブ付き 位相テンソル積（英語版）（ヒルベルト空間の（英語版））
位相	双対 双対空間 作用素 強（極 作用素） Ultrastrong（英語版） 弱（作用素） Ultraweak（英語版） 一様収束（英語版）
線型作用素	随伴 双線型（形式） 有界 / 非有界 閉（英語版） 連続 / 不連続 コンパクト フレドホルム ヒルベルト＝シュミット 汎関数（正（英語版）） 正規 核 自己共役 Strictly singular（英語版） トレースクラス 転置 ユニタリ
集合の操作	代数的内部（核） 内部 ミンコフスキー和（英語版） 極
バナッハ環	C*-環 スペクトル（C*-環（英語版） 半径) スペクトル理論
定理	Eberlein–Šmulian（英語版） 開写像 角谷の不動点 ゲルファント＝マズール コーシー＝シュワルツの不等式 Goldstine（英語版） シャウダーの不動点 パーセヴァルの等式 ハーン–バナッハ（分離超平面） バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語版） Banach–Mazur（英語版） フロイデンタールのスペクトル 閉値域 閉グラフ ベッセルの不等式 マッキー＝アレンス マズールの補題 リースの拡張 Lomonosov's invariant subspace（英語版） ニュートン＝カントロビッチ
解析	ボホナー空間 フレシェ空間における微分（英語版） 微分（フレシェ ガトー 汎函数 holomorphic（英語版）） 積分（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス 方正 弱) 汎函数計算（Borel（英語版） continuous（英語版） holomorphic（英語版）） 逆函数定理（Nash–Moser theorem（英語版）） ベクトル測度
応用	量子力学の数学的定式化 有限要素法 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算
日本人研究者	加藤敏夫 吉田耕作 藤田宏 増田久弥
海外の研究者	リース・フリジェシュ ステファン・バナフ ダフィット・ヒルベルト イズライル・ゲルファント ピーター・ラックス
カテゴリ