Cochran-tétel

A statisztikában a Cochran-tételt a valószínűség-eloszlásokkal kapcsolatos eredmények igazolására használják a varianciaanalízisnél.[1][2] A tételt William G. Cochran (1909–1980) amerikai-skót statisztikus dolgozta ki.[3]

Állítás

Tegyük fel, hogy U1, ..., Un független normális eloszlású valószínűségi változók, és felírható a

∑ i = 1 n U i 2 = Q 1 + ⋯ + Q k {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}U_{i}^{2}=Q_{1}+\cdots +Q_{k}}

alak, ahol minden Qi, U lineáris kombinációinak négyzetösszegei. Továbbá tegyük fel, hogy

r 1 + ⋯ + r k = n , {\displaystyle r_{1}+\cdots +r_{k}=n,}

ahol ri Qi rangja.

Cochran tétele azt állítja, hogy Qi-k függetlenek, és minden egyes Qi khí-négyzet eloszlású ri szabadságfokkal. Itt Qi rangját úgy kell értelmezni, mint egy B(i) mátrix dimenzióját, Qi négyzetes ábrázolásában:

Q i = ∑ j = 1 n ∑ k = 1 n U j B j , k ( i ) U k . {\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}U_{j}B_{j,k}^{(i)}U_{k}.}

Kevésbé formálisan, ez a lineáris kombinációk száma, mely tartalmazza a Qi-t meghatározó négyzetek összegét, feltéve, hogy a lineáris kombinációk lineárisan függetlenek.

Példák

Minta középérték és minta szórásnégyzet

Ha X1, ..., Xn független, normális eloszlású valószínűségi változók μ középértékkel és σ szórással, akkor

U i = X i − μ σ {\displaystyle U_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}}

minden egyes i-re standard normális.

Felírhatjuk, hogy

∑ U i 2 = ∑ ( X i − X ¯ σ ) 2 + n ( X ¯ − μ σ ) 2 {\displaystyle \sum U_{i}^{2}=\sum \left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}

(itt az összegzés 1-től n-ig tart, a teljes megfigyelési tartományban) σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} -tel megszorozva:

∑ ( X i − μ ) 2 = ∑ ( X i − X ¯ + X ¯ − μ ) 2 {\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}}+{\overline {X}}-\mu )^{2}}

és kiterjesztve

∑ ( X i − μ ) 2 = ∑ ( X i − X ¯ ) 2 + ∑ ( X ¯ − μ ) 2 + 2 ∑ ( X i − X ¯ ) ( X ¯ − μ ) . {\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum ({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum (X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).}

A harmadik tag zéró, mert konstans idővel egyenlő

∑ ( X ¯ − X i ) = 0 , {\displaystyle \sum ({\overline {X}}-X_{i})=0,}

a második tag n azonos tag összege. Így:

∑ ( X i − μ ) 2 = ∑ ( X i − X ¯ ) 2 + n ( X ¯ − μ ) 2 , {\displaystyle \sum (X_{i}-\mu )^{2}=\sum (X_{i}-{\overline {X}})^{2}+n({\overline {X}}-\mu )^{2},}

és ezért

∑ ( X i − μ σ ) 2 = ∑ ( X i − X ¯ σ ) 2 + n ( X ¯ − μ σ ) 2 = Q 1 + Q 2 . {\displaystyle \sum \left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum \left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=Q_{1}+Q_{2}.}

Q2 rangja 1, Q1 rangja n–1, és így a Cochran-tétel feltételei teljesültek. A Cochran-tétel állítja, hogy Q2 és Q1 függetlenek, khi-négyzet eloszlással, és n–1, és 1 szabadságfokokkal. Ez mutatja, hogy a minta középérték, és a minta szórása függetlenek egymástól.

Ez a Basu-tételből is következik, és ez a tulajdonság a normális eloszlásra jellemző, nincs más eloszlás, ahol a minta középérték, és a minta szórása függetlenek egymástól.

Eloszlások

Az eloszlásokra szimbolikusan a következők írhatók:

n ( X ¯ − μ ) 2 ∼ σ 2 χ 1 2 , {\displaystyle n({\overline {X}}-\mu )^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{1}^{2},}
∑ ( X i − X ¯ ) 2 ∼ σ 2 χ n − 1 2 . {\displaystyle \sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}\sim \sigma ^{2}\chi _{n-1}^{2}.}

Mindkét valószínűségi változó arányos az igazi, de ismeretlen σ2 szórásnégyzettel. Így arányuk nem függ σ2-től, és mivel statisztikusan függetlenek, az arányuk eloszlása:

n ( X ¯ − μ ) 2 1 n − 1 ∑ ( X i − X ¯ ) 2 ∼ χ 1 2 1 n − 1 χ n − 1 2 ∼ F 1 , n − 1 {\displaystyle {\frac {n\left({\overline {X}}-\mu \right)^{2}}{{\frac {1}{n-1}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}}\sim {\frac {\chi _{1}^{2}}{{\frac {1}{n-1}}\chi _{n-1}^{2}}}\sim F_{1,n-1}}

ahol F1,n−1 az F-eloszlás 1 és n−1 szabadságfokkal (lásd Student-féle t-eloszlás). Itt a végső lépés a valószínűségi változó meghatározása, melynek F-eloszlása van.

Szórásnégyzet becslése

σ ^ 2 = 1 n ∑ ( X i − X ¯ ) 2 . {\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}.}

Cochran-tétel szerint:

n σ ^ 2 σ 2 ∼ χ n − 1 2 {\displaystyle {\frac {n{\widehat {\sigma }}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}

és a khi-négyzet eloszlás tulajdonságából következően a várható σ ^ 2 {\displaystyle {\widehat {\sigma }}^{2}}  : σ 2 ( n − 1 ) / n {\displaystyle \sigma ^{2}(n-1)/n} .

Irodalom

  • Cochran, W. G: "The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance". (hely nélkül): Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2). 1934.  
  • Bapat, R. B.: Linear Algebra and Linear Models (Second ed.). (hely nélkül): Springer. 1934. ISBN 9780387988719  

Jegyzetek

  1. ↑ Bapat, R. B.. Linear Algebra and Linear Models, Second, Springer (2000). ISBN 9780387988719 
  2. ↑ http://www.staff.u-szeged.hu/~rajko/oktatas/matstat/index.html
  3. ↑ Cochran, W. G. (1934. April). „The distribution of quadratic forms in a normal system, with applications to the analysis of covariance”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 30 (2), 178–191. o. DOI:10.1017/S0305004100016595.  

Kapcsolódó szócikkek

  • Matematika Matematikai portál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap