Variancia

A variancia avagy szórásnégyzet a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó eloszlását jellemző szóródási mérőszám.[1] A szórásnégyzet megmutatja, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható érték (középérték) körül. A szórásnégyzet a valószínűségi változó második centrális momentuma, gyakran használják ezt a paramétert a sokféle eloszlás megkülönböztetésére, valamint elméleti számításoknál.

A szórást és az abszolút eltérést egyaránt használják eloszlások jellemzésére. A szórás jobban jellemző, mint az abszolút eltérés, valamint együtt a szórásnégyzettel és a kovarianciával alkalmazzák az elméleti statisztikában. Az abszolút eltérés robusztusabb és kevésbé érzékeny a nagy eltérésekre, melyek mérési anomáliákból származnak.

A szórásnégyzet a valószínűségi változó változásainak a mértéke, tekintetbe véve az összes lehetséges értéket és annak valószínűségeit.

Definíció

Ha egy X valószínűségi változó várható értéke (középértéke) μ = E[X], akkor az X szórásnégyzete az X saját magával vett kovarianciája:

Var ⁡ ( X ) = Cov ⁡ ( X , X ) = E ⁡ [ ( X − μ ) ( X − μ ) ] = E ⁡ [ ( X − μ ) 2 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {Cov} (X,X)\\&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )(X-\mu )\right]\\&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].\end{aligned}}}

Azaz a szórásnégyzet a változó és a várható értéke közötti különbség négyzetének várható értéke. A kovariancia megfelelő kifejezéséből kiterjesztve:

Var ⁡ ( X ) = Cov ⁡ ( X , X ) = E ⁡ [ X X ] − E ⁡ [ X ] E ⁡ [ X ] = E ⁡ [ X 2 ] − ( E ⁡ [ X ] ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {Cov} (X,X)\\&=\operatorname {E} \left[XX\right]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}.\end{aligned}}}

A leggyakrabban használt levezetés a várható értékből:

Var ⁡ ( X ) = E ⁡ ( X 2 − 2 X E ⁡ ( X ) + ( E ⁡ ( X ) ) 2 ) = E ⁡ ( X 2 ) − 2 ( E ⁡ ( X ) ) 2 + ( E ⁡ ( X ) ) 2 = E ⁡ ( X 2 ) − ( E ⁡ ( X ) ) 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} (X^{2}-2\,X\,\operatorname {E} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2(\operatorname {E} (X))^{2}+(\operatorname {E} (X))^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.\end{aligned}}}

Példa

Tekintsünk egy hatoldalú szabályos dobókockát. A dobás után a várható érték:

1 6 ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) = 3.5. {\displaystyle {\frac {1}{6}}(1+2+3+4+5+6)=3.5.}

A várható abszolút eltérés (az azonosan valószínű abszolút eltérések várható értéke a középértéktől):

1 6 ( | 1 − 3.5 | + | 2 − 3.5 | + | 3 − 3.5 | + | 4 − 3.5 | + | 5 − 3.5 | + | 6 − 3.5 | ) = 1 6 ( 2.5 + 1.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 2.5 ) = 1.5. {\displaystyle {\frac {1}{6}}(|1-3.5|+|2-3.5|+|3-3.5|+|4-3.5|+|5-3.5|+|6-3.5|)={\frac {1}{6}}(2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+2.5)=1.5.}

A várható négyzetes eltérés, a szórásnégyzet:

1 6 ( 2.5 2 + 1.5 2 + 0.5 2 + 0.5 2 + 1.5 2 + 2.5 2 ) = 17.5 / 6 ≈ 2.9. {\displaystyle {\frac {1}{6}}(2.5^{2}+1.5^{2}+0.5^{2}+0.5^{2}+1.5^{2}+2.5^{2})=17.5/6\approx 2.9.}

Folytonos valószínűségi változó esete

Ha X egy folytonos valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor a szórásnégyzet egyenlő a második centrális momentummal:

Var ⁡ ( X ) = σ 2 = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x = ∫ x 2 f ( x ) d x − μ 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,=\int x^{2}\,f(x)\,dx\,-\mu ^{2}}

ahol μ {\displaystyle \mu } , a várható érték,

μ = ∫ x f ( x ) d x {\displaystyle \mu =\int x\,f(x)\,dx\,}

Az integrál határozott integrál. Ha a folytonos eloszlásnak nincs várható értéke, mint a Cauchy-eloszlás esetében, akkor szórásnégyzete sincs. Több más eloszlásnak sincs szórásnégyzete, ha nem létezik várható értéke.

Diszkrét valószínűségi változó esete

Ha X egy diszkrét valószínűségi változó, x 1 ↦ p 1 , x 2 ↦ p 2 , … , x n ↦ p n {\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}} tömegfüggvénnyel, akkor

Var ⁡ ( X ) = ∑ i = 1 n ( p i ⋅ ( x i − μ ) 2 ) = ∑ i = 1 n ( p i ⋅ x i 2 ) − μ 2 {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2})=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot x_{i}^{2})-\mu ^{2}}

ahol μ {\displaystyle \mu } , a várható érték:

μ = ∑ i = 1 n p i ⋅ x i {\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}} .

Exponenciális eloszlás

Az exponenciális eloszlás λ {\displaystyle \lambda } paraméterrel, egy folytonos eloszlás [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \left[0,\infty \right)} tartományban, a sűrűségfüggvénye:

f ( x ) = λ e − λ x , {\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,}

a várható érték: μ = 1 λ {\displaystyle \mu ={\frac {1}{\lambda }}} , és így a szórásnégyzet:

∫ 0 ∞ f ( x ) ( x − μ ) 2 d x = ∫ 0 ∞ λ e − λ x ( x − λ − 1 ) 2 d x = λ − 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx=\int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}(x-\lambda ^{-1})^{2}\,dx=\lambda ^{-2}.\,}

σ2 = μ2.

Főbb tulajdonságok

A szórásnégyzet nem lehet negatív:

Var ⁡ ( X ) ≥ 0. {\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}

Egy állandó változó szórásnégyzete zéró, és ha a szórásnégyzet zéró, akkor 1 valószínűséggel állandó a változó:

P ( X = a ) = 1 ⇔ Var ⁡ ( X ) = 0. {\displaystyle P(X=a)=1\Leftrightarrow \operatorname {Var} (X)=0.}

A szórásnégyzet invariáns a helyparaméter változásaira, ha egy állandót adunk hozzá a változóhoz, a szórásnégyzet nem változik:

Var ⁡ ( X + a ) = Var ⁡ ( X ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}

Ha a változót megszorozzuk egy konstanssal, a szórásnégyzet a konstans négyzetével változik.

Var ⁡ ( a X ) = a 2 Var ⁡ ( X ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}

Irodalom

  • Goodman, Leo A: On the exact variance of products. (hely nélkül): Journal of the American Statistical Association. 1960. 708–713. o. ISBN 978-963-279-026-8  

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

  1. ↑ Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York
Nemzetközi katalógusok
  • GND: 4078739-4
  • KKT: 00561029