ARCH模型

ARCH模型（英語：Autoregressive conditional heteroskedasticity model，全称：自我迴歸條件異質變異數模型），解决了传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设（變異數恆定）所引起的问题。这个模型是获得2003年诺贝尔经济学奖的计量经济学成果之一。

起源

传统的计量经济学对时间序列变量的第二个假设：假定时间序列变量的波动幅度（方差）是固定的，不符合实际，比如，人们早就发现股票收益的波动幅度是随时间而变化的，并非常数。这使得传统的时间序列分析对实际问题并不有效。

罗伯特·恩格尔在1982年发表在《计量经济学》杂志（Econometrica）的一篇论文中提出了ARCH模型解决了时间序列的波动性（volatility）问题，当时他研究的是英国通货膨胀率的波动性。

ARCH模型内涵

以 ε t {\displaystyle \varepsilon _{t}} 表示收益或者收益残差，假设 ε t = σ t z t {\displaystyle \varepsilon _{t}=\sigma _{t}z_{t}} ，此处 z t ∼ i i d   N ( 0 , 1 ) {\displaystyle z_{t}\sim iid\ N(0,1)} （即独立同分布，均符合期望为0，方差为1的正态分布）此处序列 σ t 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}} 建模为

σ t 2 = α 0 + α 1 ε t − 1 2 + ⋯ + α p ε t − p 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{p}\varepsilon _{t-p}^{2}}

（其中 α 0 > 0 , α i ≥ 0 , i > 0 {\displaystyle \alpha _{0}>0,\alpha _{i}\geq 0,i>0} ，即各期收益以非负数线性组合，常数项为正数。

GARCH模型

如果變異數用ARMA模型來表示，则ARCH模型的变形为GARCH模型（波勒斯勒夫（Bollerslev），1986年）。

GARCH（p，q）模型为

σ t 2 = α 0 + α 1 ε t − 1 2 + ⋯ + α q ε t − q 2 + β 1 σ t − 1 2 + ⋯ + β p σ t − p 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\varepsilon _{t-1}^{2}+\cdots +\alpha _{q}\varepsilon _{t-q}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}+\cdots +\beta _{p}\sigma _{t-p}^{2}}

IGARCH

IGARCH模型对GARCH的参数做了限制。IGARCH（p，q）模型可以表示为：

σ t 2 = α 0 + ∑ i = 1 p α i ϵ t − i 2 + ∑ i = 1 q β i σ t − i 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}\epsilon _{t-i}^{2}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}\sigma _{t-i}^{2}}
条件是： ∑ i = 1 p α i + ∑ i = 1 q β i = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{p}\alpha _{i}+\sum _{i=1}^{q}\beta _{i}=1}

GARCH-M

GARCH-M模型把异方差项引入平均数方程式。一个简单的GARCH-M（1，1）模型可以表示为：

y t =   γ x t +   ϕ   σ t − 1 +   ϵ t {\displaystyle y_{t}=~\gamma x_{t}+~\phi ~\sigma _{t-1}+~\epsilon _{t}}
σ t 2 = α 0 + α 1 ϵ t − 1 2 + β 1 σ t − 1 2 {\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\alpha _{0}+\alpha _{1}\epsilon _{t-1}^{2}+\beta _{1}\sigma _{t-1}^{2}}

残差项   ϵ t {\displaystyle ~\epsilon _{t}} 定义为：

  ϵ t ∼   N ( 0 , σ t 2 ) {\displaystyle ~\epsilon _{t}\sim \ N(0,\sigma _{t}^{2})}

ARCH模型的应用

ARCH模型能准确地模拟时间序列变量的波动性的变化，它在金融工程学的实证研究中应用广泛，使人们能更加准确地把握风险（波动性），尤其是应用在风险价值（Value at Risk）理论中，在华尔街是人尽皆知的工具。

ARCH模型的变形和发展

  • 波勒斯勒夫（Bollerslev）提出GARCH模型（Generalized ARCH）；
  • 利立安（Lilien）提出ARCH-M模型；
  • 罗宾斯（Robbins）提出NARCH模型

参见