Tích (toán học)

Trong toán học, tích toán học là kết quả của phép nhân, hoặc là một biểu thức nhận diện các nhân tố được nhân. Ví dụ: 6 tích của 2 và 3 (kết quả của phép nhân), còn x ⋅ ( 2 + x ) {\displaystyle x\cdot (2+x)} là tích của x {\displaystyle x} và ( 2 + x ) {\displaystyle (2+x)} (chỉ ra 2 nhân tố nên được nhân với nhân).

Thứ tự mà số thực hoặc số phức được nhân không ảnh hưởng đến kết quả nhân; tính chất này gọi là tính giao hoán. Với nhân tử là ma trận toán học hoặc thành viên thuộc các số đại số kết hợp khác, tích toán học thường phụ thuộc vào thứ tự của nhân tử. Ví dụ, phép nhân ma trận và phép nhân trong các đại số khác nói chung là không giao hoán.

Có rất nhiều loại tích khác nhau trong toán học: ngoài việc là phép nhân giữa các số, đa thức hoặc ma trận, người ta cũng định nghĩa phép nhân trên nhiều cấu trúc đại số khác nhau. Tổng quan về các loại tích khác nhau được đưa ra ở đây.

Tích của hai số

Tích của 2 số tự nhiên

3 nhân 4 bằng 12

Đặt các viên đá vào một hình chữ nhật có  r {\displaystyle r} hàng và s {\displaystyle s} cột cho ra

r ⋅ s = ∑ i = 1 s r = ∑ j = 1 r s {\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s}

viên đá.

Tích của 2 số nguyên

Số nguyên gồm số dương và số âm. Hai số được nhân tương tự các số tự nhiên, ngoại trừ quy tắc bổ sung về dấu của kết quả:

× − + − + − + − + {\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}}

Nói thành lời:

  • Âm nhân Âm ra Dương
  • Âm nhân Dương ra Âm
  • Dương nhân Âm ra Âm
  • Dương nhân Dương ra Dương

Tích của 2 phân số

Nhân hai phân số bằng cách nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số:

z n ⋅ z ′ n ′ = z ⋅ z ′ n ⋅ n ′ {\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}

Tích của 2 số thực

Xem Xây dựng trường số thực cho định nghĩa chính xác của tích của 2 số thực.

Tích của 2 số phức

Nhân 2 số phức bằng luật phân phối và định nghĩa i 2 = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} :

( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = a ⋅ c + a ⋅ d i + b ⋅ c i + b ⋅ d ⋅ i 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c ) i {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\cdot c\,\mathrm {i} +b\cdot d\cdot \mathrm {i} ^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} \end{aligned}}}

Ý nghĩa hình học của phép nhân số phức

Biễu diễn số phức trong hệ tọa độ cực.

Số phức có thể được viết trong hệ tọa độ cực:

a + b i = r ⋅ ( cos ⁡ ( φ ) + i sin ⁡ ( φ ) ) = r ⋅ e i φ {\displaystyle a+b\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}

Hơn thế,

c + d i = s ⋅ ( cos ⁡ ( ψ ) + i sin ⁡ ( ψ ) ) = s ⋅ e i ψ {\displaystyle c+d\,\mathrm {i} =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i} \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }} , mà từ đó ta có:
( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c ) i = r ⋅ s ⋅ ( cos ⁡ ( φ + ψ ) + i sin ⁡ ( φ + ψ ) ) = r ⋅ s ⋅ e i ( φ + ψ ) {\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}

Ý nghĩa hình học là chúng ta nhân các độ dài và cộng các góc.

Tích của 2 quaternion

Tích của 2 quaternion có thể được tìm thấy trong bài viết về quaternions. Tuy nhiên cũng cần lưu ý điểm thú vị rằng a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} và b ⋅ a {\displaystyle b\cdot a} nói chung là phân biệt.

Tích của chuỗi số

Toán tử đại diện tích của một chuỗi số là ký tự Hy Lạp viết hoa pi ∏ (tương tự việc sử dụng ký tự viết hoa Sigma ∑ để đại diện tổng). Tích của chuỗi chỉ gồm một số chính là số đó. Tích của không phần tử nào được gọi là tích rỗng và bằng 1.

Vành giao hoán

Vành giao hoán có một phép nhân.

Các lớp dư của số nguyên

Các lớp dư trong vành Z / N Z {\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} } có thể cộng với nhau:

( a + N Z ) + ( b + N Z ) = a + b + N Z {\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )+(b+N\mathbb {Z} )=a+b+N\mathbb {Z} }

và nhân được với nhau:

( a + N Z ) ⋅ ( b + N Z ) = a ⋅ b + N Z {\displaystyle (a+N\mathbb {Z} )\cdot (b+N\mathbb {Z} )=a\cdot b+N\mathbb {Z} }

Vành các hàm

Hàm số thực có thể cộng và nhân nhau bằng cách nhân kết quả của chúng:

( f + g ) ( m ) := f ( m ) + g ( m ) {\displaystyle (f+g)(m):=f(m)+g(m)}
( f ⋅ g ) ( m ) := f ( m ) ⋅ g ( m ) {\displaystyle (f\cdot g)(m):=f(m)\cdot g(m)}

Tích chập

Tích chập của sóng vuông với chính nó cho phép các hàm tam giác

Hai hàm đồng hóa có thể nhân nhau theo một cách khác gọi là tích chập.

Nếu

∫ − ∞ ∞ | f ( t ) | d t < ∞ và ∫ − ∞ ∞ | g ( t ) | d t < ∞ , {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|\,\mathrm {d} t<\infty \qquad {\mbox{và}}\qquad \int \limits _{-\infty }^{\infty }|g(t)|\,\mathrm {d} t<\infty ,}

thì tích phân

( f ∗ g ) ( t ) := ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) ⋅ g ( t − τ ) d τ {\displaystyle (f*g)(t)\;:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\cdot g(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau }

được định nghĩa và gọi là tích chập.

Dưới biến đổi Fourier, tích chập trở thành phép nhân hàm điểm.

Vành đa thức

Tích của 2 đa thức được định nghĩa:

( ∑ i = 0 n a i X i ) ⋅ ( ∑ j = 0 m b j X j ) = ∑ k = 0 n + m c k X k {\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}}

trong đó

c k = ∑ i + j = k a i ⋅ b j {\displaystyle c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}}

Tích trong đại số tuyến tính

Phép vô hướng

Bằng định nghĩa của không gian vector, ta có thể lập tích vô hướng của bất kỳ vector nào, với ánh xạ R × V → V {\displaystyle \mathbb {R} \times V\rightarrow V} .

Tích vô hướng

Tích chéo trong không gian 3 chiều

Tích của ánh xạ tuyến tính

Tích của 2 ma trận

Tích của hàm tuyến tính như tích ma trận

Tích Tensor của không gian vector

Các lớp của tất cả đối tượng với tích tensor

Các tích khác trong đại số tuyến tính

Tích Descartes

Tích rỗng

Tích trên các cấu trúc đại số khác

Các tích trong lý thuyết phân loại

Các tích khác

Xem thêm

  •  Tích Deligne tensor của phân loại Abel

Tham khảo

Liên kết ngoài

  • Product on Wolfram Mathworld
  • “Product”. PlanetMath.