Pauli matrisleri

Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:

σ 1 = σ x = ( 0 1 1 0 ) {\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
σ 2 = σ y = ( 0 − i i 0 ) {\displaystyle \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}
σ 3 = σ z = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}

İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.

Özellikler

I birim matris olmak üzere.

σ 1 2 = σ 2 2 = σ 3 2 = ( 1 0 0 1 ) = I {\displaystyle \sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}
  • Pauli matrislerinin determinant ve izleri:
det ( σ i ) = − 1 Tr ⁡ ( σ i ) = 0   i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle {\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1&\\[1ex]\operatorname {Tr} (\sigma _{i})&=&0&\quad \ i=1,2,3\end{matrix}}}

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σi ±1 olduğu açıkça görülebilir.

  • Birim matris I (bazen σ0 olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

Komutasyon bağıntıları

σ 1 σ 2 = i σ 3 {\displaystyle \sigma _{1}\sigma _{2}=i\sigma _{3}\,\!}
σ 3 σ 1 = i σ 2 {\displaystyle \sigma _{3}\sigma _{1}=i\sigma _{2}\,\!}
σ 2 σ 3 = i σ 1 {\displaystyle \sigma _{2}\sigma _{3}=i\sigma _{1}\,\!}
σ i σ j = − σ j σ i i ≠ j {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=-\sigma _{j}\sigma _{i}\quad i\neq j\,\!}
  • Yukarıdaki ifadeler kullanılarak ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} Levi-Civita sembolü, δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:
[ σ i , σ j ] = 2 i ε i j k σ k { σ i , σ j } = 2 δ i j ⋅ I {\displaystyle {\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\,\varepsilon _{ijk}\,\sigma _{k}\\[1ex]\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}\cdot I\end{matrix}}}

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

σ i σ j = δ i j ⋅ I + i ε i j k σ k {\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\delta _{ij}\cdot I+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\,} .

Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:

σ → = σ 1 x ^ + σ 2 y ^ + σ 3 z ^ {\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma _{1}{\hat {x}}+\sigma _{2}{\hat {y}}+\sigma _{3}{\hat {z}}\,}

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

( a → ⋅ σ → ) ( b → ⋅ σ → ) = a → ⋅ b → + i σ → ⋅ ( a → × b → ) ( 1 ) {\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\quad \quad \quad \quad (1)\,}
(a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)
en genel tanımıyla a → = a n ^ {\displaystyle {\vec {a}}=a{\hat {n}}} olarak verilen bir a vektörü için
e i ( a → ⋅ σ → ) = cos ⁡ a + i ( n ^ ⋅ σ ) sin ⁡ a ( 2 ) {\displaystyle e^{i({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sin {a}\quad \quad \quad \quad \quad \quad (2)\,}
(1)' in ispatı
( a → ⋅ σ → ) ( b → ⋅ σ → ) {\displaystyle ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})({\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }})\,} = a i σ i b j σ j {\displaystyle =a_{i}\sigma _{i}b_{j}\sigma _{j}\,}
= a i b j σ i σ j {\displaystyle =a_{i}b_{j}\sigma _{i}\sigma _{j}\,}
= a i b j ( δ i j + i ε i j k σ k ) {\displaystyle =a_{i}b_{j}\left(\delta _{ij}+i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}\right)\,}
= a i b j δ i j + i σ k ε i j k a i b j {\displaystyle =a_{i}b_{j}\delta _{ij}+i\sigma _{k}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}\,}
= a → ⋅ b → + i σ → ⋅ ( a → × b → ) {\displaystyle ={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+i{\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\,}
(2)' nin ispatı

Çift kuvvetler için

( n ^ ⋅ σ → ) 2 n = I {\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n}=I\,}

tek kuvvetler için

( n ^ ⋅ σ → ) 2 n + 1 = n ^ ⋅ σ → {\displaystyle ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2n+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\,}

Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:

e i x {\displaystyle e^{ix}\,} = ∑ n = 0 ∞ i n x n n ! {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}x^{n}}{n!}}\,}
= ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n 2 n ! + i ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}

x = a ( n ^ ⋅ σ ) {\displaystyle x=a({\hat {n}}\cdot \sigma )\,} yerine koyularak

= ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( a n ^ ⋅ σ ) 2 n 2 n ! + i ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( a n ^ ⋅ σ ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n}}{2n!}}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(a{\hat {n}}\cdot \sigma )^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}
= ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a 2 n 2 n ! + i ( n ^ ⋅ σ ) ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n a 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n}}{2n!}}+i({\hat {n}}\cdot \sigma )\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}a^{2n+1}}{(2n+1)!}}\,}

sonuçta,

e i a ( n ^ ⋅ σ → ) = cos ⁡ a + i ( n ^ ⋅ σ → ) sin ⁡ a {\displaystyle e^{ia({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})}=\cos {a}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sin {a}\,}

ifadesine ulaşılır.

Fizik

Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

S i = ℏ 2 σ i i = 1 , 2 , 3 {\displaystyle S_{i}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}\quad i=1,2,3}

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin ± ℏ / 2 {\displaystyle \pm \hbar /2} olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.