Parsevals formel

Parsevals formel är en formel inom Fourieranalys som relaterar en integral av en funktion till dess Fourierkoefficienter. Satsen har sitt ursprung i en sats om serier från 1799 av Marc-Antoine Parseval som senare tillämpades på Fourierserier.

Parsevals formel ger ett villkor för när likhet uppstår i Bessels olikhet. En liknande sats är Plancherels sats.

Formulering

Parsevals formel har en formulering om rummet L 2 [ T ] {\displaystyle L^{2}[T]} som är vanligt förekommande inom tillämpningar, men även en formulering om allmänna inre produktrum. Formuleringen i L 2 [ T ] {\displaystyle L^{2}[T]} är ett specialfall av den allmänna formuleringen.

Fourierserier

I rummet L 2 [ T ] {\displaystyle L^{2}[T]} säger Parsevals formel att för två funktioner f och g i rummet gäller att:

1 T ∫ T f ( t ) g ( t ) ¯ d t = ∑ n = − ∞ ∞ a n b n ¯ {\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}f(t){\overline {g(t)}}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}}

och

1 T ∫ T | f ( t ) | 2 d t = ∑ n = − ∞ ∞ | a n | 2 {\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}|f(t)|^{2}dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|a_{n}|^{2}}

där a n {\displaystyle a_{n}} och b n {\displaystyle b_{n}} är Fourierkoefficienterna till f respektive g givet av:

a n = 1 T ∫ T f ( t ) e − i n t d t {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{T}}\int _{T}f(t)e^{-int}dt}

Inre produktrum

En allmännare form av Parsevals sats behandlar allmänna inre produktrum. Låt V vara ett inre produktrum, då säger Parsevals sats att en följd ( f k ) {\displaystyle (f_{k})} av ortonormala element i V är fullständig (dvs, det linjära höljet av ( f k ) {\displaystyle (f_{k})} är tät i V) om och endast om

‖ x ‖ = ∑ k = 1 ∞ | ⟨ x , v k ⟩ | {\displaystyle \|x\|=\sum _{k=1}^{\infty }|\langle x,v_{k}\rangle |}

för alla x i V. Som en följd av Parsevals sats får man att om ( f k ) {\displaystyle (f_{k})} är ett fullständigt ortonormalt system i V kan varje x i V skrivas som en summa (Fourierserie):

x = ∑ k = 1 ∞ ⟨ x , v k ⟩ f k {\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }\langle x,v_{k}\rangle f_{k}}

och serien konvergerar i inre produktrummets norm:

lim N → ∞ ‖ u − ∑ k = 1 N ⟨ x , f k ⟩ f k ‖ = 0. {\displaystyle \lim _{N\to \infty }\left\|u-\sum _{k=1}^{N}\langle x,f_{k}\rangle f_{k}\right\|=0.}

Man får även följande likhet för att räkna ut skalärprodukten mellan två element genom att använda koefficienterna:

⟨ u , v ⟩ = ∑ k = 1 ∞ ⟨ u , f k ⟩ ⟨ v , f k ⟩ ¯ . {\displaystyle \langle u,v\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }\langle u,f_{k}\rangle {\overline {\langle v,f_{k}\rangle }}.}

Referenser

  • Kreyszig, Erwin (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50731-8 
  • Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer Verlag. ISBN 0-387-00836-5 
  • Yosida, Kosaku (1980). Functional Analysis. Springer Verlag. ISBN 0-387-10210-8