Kontinuitetsekvationen

 Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-02)
Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Kontinuitetsekvationen är en ekvation baserad på Reynolds transportteorem (RTT). Kontinuitetsekvationen är ett uttryck för villkoret att massa varken skapas eller försvinner vid ett strömningsförlopp.

Grundform

Den extensiva storheten B gäller då massa varför den intensiva storheten β blir 1 eftersom:

β = d m d m = 1 {\displaystyle \beta ={dm \over dm}=1}

RTT blir då:

d m s y s t d t = d d t ( ∫ k v ρ d V ) + ∫ k y ρ ( V r ⋅ n ) d A {\displaystyle {d\mathbf {m} _{syst} \over dt}={d \over dt}{\Big (}\int _{kv}\rho dV{\Big )}+\int _{ky}\rho {\Big (}\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} {\Big )}dA} ,

där kv står för kontrollvolym, ky för kontrollyta, ρ för densiteten, A för area, V för hastighet. V r {\displaystyle \mathbf {V} _{r}} är en relativ hastighetsvektor medan n {\displaystyle \mathbf {n} } är en enhetsvektor som är negativ för inflöde och positiv för utflöde. Dock är d m s y s t d t {\displaystyle {d\mathbf {m} _{syst} \over dt}} lika med noll för en kontrollvolym.

Kontinuitetsekvationen är:

d d t ( ∫ k v ρ d V ) + ∫ k y ρ ( V r ⋅ n ) d A = 0 {\displaystyle {d \over dt}{\Big (}\int _{kv}\rho dV{\Big )}+\int _{ky}\rho {\Big (}\mathbf {V} _{r}\cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=0}

Kontinuitetsekvationen förenklas beroende på situation.

Fix kontrollvolym

V r = V {\displaystyle \mathbf {V} _{r}=\mathbf {V} } och d d t ∫ = ∫ δ δ t {\displaystyle {d \over dt}\int =\int {\delta \over \delta t}} , dvs.

∫ k v δ ρ δ t d V + ∫ k y ρ ( V ⋅ n ) d A = 0 {\displaystyle \int _{kv}{\delta \rho \over \delta t}dV+\int _{ky}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=0}

Endimensionell, stationär strömning i fix kontrollvolym

Vid stationär strömning är δ ρ δ t ≡ 0 {\displaystyle {\delta \rho \over \delta t}\equiv 0}

Vid endimensionell, stationär strömning i en fix kontrollvolym gäller då:

∑ ( ρ V A ) u t = ∑ ( ρ V A ) i n {\displaystyle \sum {\Big (}\rho VA{\Big )}_{ut}=\sum {\Big (}\rho VA{\Big )}_{in}} , vilket ger att:

∑ m ˙ u t = ∑ m ˙ i n = k o n s t a n t {\displaystyle \sum {\dot {m}}_{ut}=\sum {\dot {m}}_{in}=konstant}

Vid inkompressibelt flöde är densiteten konstant genom hela fluiden. Alltså gäller att δ ρ δ t ≡ 0 {\displaystyle {\delta \rho \over \delta t}\equiv 0} .

Inkompressibelt flöde med fix kontrollvolym

∫ k y ρ ( V ⋅ n ) d A = 0   <=>   ∫ k y ( V ⋅ n ) d A {\displaystyle \int _{ky}\rho {\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA=0\ <=>\ \int _{ky}{\Big (}\mathbf {V} \cdot \mathbf {n} {\Big )}dA}

Endimensionell, inkompressibel strömning genom kontrollvolym

∑ ( V A ) u t = ∑ ( V A ) i n {\displaystyle \sum {\Big (}VA{\Big )}_{ut}=\sum {\Big (}VA{\Big )}_{in}} dvs. ∑ Q u t = ∑ Q i n {\displaystyle \sum Q_{ut}=\sum Q_{in}} och ∑ m ˙ u t = ∑ m ˙ i n {\displaystyle \sum {\dot {m}}_{ut}=\sum {\dot {m}}_{in}}

Källor

  • Pumphandboken

Se även