Householdertransformation

En Householdertransformation är inom matematiken, specifikt linjär algebra, en avbildning som i ett tredimensionellt vektorrum med skalärprodukt reflekterar en vektor i ett plan (som innehåller origo, ett underrum). Detta kan generaliseras till alla ändligtdimensionella vektorrum som reflektion av en vektor i ett hyperplan som innehåller origo.

Transformationen kan även generaliseras till allmänna inre produktrum och kallas då Householderoperator. Transformen introducerades av Alston Scott Householder 1958.

Konstruktion och egenskaper

Ett hyperplan ${\displaystyle \pi }$ kan definieras med dess normerade normalvektor, ${\displaystyle v}$ (vektorn av längd 1 som är ortogonal till hyperplanet). Då ges Householdermatrisen ${\displaystyle Q}$ av:

${\displaystyle Q=I-2vv^{*}\,}$

Där ${\displaystyle I}$ är enhetsmatrisen och ${\displaystyle v^{*}}$ är det hermiteska konjugatet av ${\displaystyle v}$. ${\displaystyle Q}$ reflekterar en punkt ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle \pi }$, ty:

${\displaystyle Qx=x-2vv^{*}x=x-2\langle v,x\rangle v}$

Där ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ är skalärprodukten. Detta på grund av att ${\displaystyle |\langle v,x\rangle |}$ ger avståndet mellan ${\displaystyle x}$ och ${\displaystyle \pi }$.

${\displaystyle Q}$ har ett antal bra egenskaper:

• ${\displaystyle Q}$ är hermitesk: ${\displaystyle Q=Q^{*}}$.
• ${\displaystyle Q}$ är unitär: ${\displaystyle Q^{*}=Q^{-1}}$.
• Av detta följer att ${\displaystyle Q}$ är sin egen invers: ${\displaystyle Q^{2}=I}$.

Vilket stämmer bra då reflektionen av ${\displaystyle x}$:s reflektion måste vara ${\displaystyle x}$.

Användning

Householdertransformationer kan användas för att QR-faktorisera en matris.