Diracmått

Ett Diracmått är inom matematik ett enkelt mått som är koncentrerad i en punkt. Det är också ett sannolikhetsmått. Man behöver Diracmåttet i funktionalanalys eftersom man kan föreställa sig det på liknande sätt som distributionen Diracs delta-funktion.

Definition

Låt ${\displaystyle X\,}$ vara en mängd och ${\displaystyle x\in X\,}$. Ett Diracmått i ${\displaystyle x\,}$ är en funktion ${\displaystyle \delta _{x}:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,1]}$, definierad som:

${\displaystyle \delta _{x}(A)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\textrm {om}}\ x\in A\\0,&{\textrm {om}}\ x\,\not \in \,A.\end{matrix}}\right.}$

Egenskaper

• Man kan bevisa att Diracmåttets måttintegral för ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} \,}$ är

${\displaystyle \int _{X}\,f\,d\delta _{x}=f(x).}$

• Diracmåttet är singulärt med Lebesguemåttet i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Se även

• Mått
• Funktionalanalys

Referenser

• Rudin, W. Functional analysis, McGraw-Hill, 1973.