Binomialsatsen

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Binomialsatsen är en sats som används för att utveckla potenser av binom.

Definition

Låt ${\displaystyle x}$ och ${\displaystyle y}$ vara två godtyckligt valda reella eller komplexa nollskilda tal där ${\displaystyle x+y\neq 0}$. För varje naturligt tal ${\displaystyle n}$ gäller för exponentieringen av binomet ${\displaystyle x+y\,}$:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}\,y^{k}}$

där talet

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

är en binomialkoefficient (utläses n över k eller n välj k) och n! betecknar n-fakultet, vilken definieras som

${\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n,\qquad 0!=1}$

Historik

Binomialsatsen och Pascals triangel — som kan användas för att bestämma koefficienterna — brukar tillskrivas Blaise Pascal som beskrev dem på 1600-talet. De var dock tidigare kända av den kinesiske matematikern Yang Hui på 1200-talet, den persiske matematikern Omar Khayyám på 1000-talet, samt den indiske matematikern Pingala på 200-talet f.Kr.

Tillämpningar av binomialsatsen

• Binomialsatsen gör det enkelt att skriva ned exponentieringen av binom, vilket annars skulle kunna vara tidsödande att utveckla för hand.

Detta kan illustreras med utvecklingen av ${\displaystyle (1+x)^{5}}$:

${\displaystyle (1+x)^{5}={\binom {5}{0}}x^{5}+{\binom {5}{1}}x^{4}+{\binom {5}{2}}x^{3}+{\binom {5}{3}}x^{2}+{\binom {5}{4}}x^{1}+{\binom {5}{5}}x^{0}.}$

Den sjätte raden i Pascals triangel innehåller alla binomialkoefficienter som förekommer i denna utveckling: 1, 5, 10, 10, 5 och 1 och utvecklingen kan därmed skrivas

${\displaystyle (1+x)^{5}=x^{5}+5\,x^{4}+10\,x^{3}+10\,x^{2}+5\,x+1.}$

• Om ${\displaystyle M}$ är en mängd bestående av ${\displaystyle n}$ stycken element, så anger binomialkoefficienten, ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$, antalet delmängder till ${\displaystyle M}$ bestående av ${\displaystyle k}$ stycken element. Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att det kan bildas ${\displaystyle 2^{n}\,}$ delmängder av mängden ${\displaystyle M}$:

Det finns ${\displaystyle {\binom {n}{0}}}$ delmängder bestående av noll element och ${\displaystyle {\binom {n}{1}}}$ delmängder bestående av ett element och ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$ delmängder bestående av två element och så vidare. Totalt finns det

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}+\cdots +{\binom {n}{n}}}$

delmängder till mängden ${\displaystyle M}$. Binomialsatsen ger — med ${\displaystyle x=1}$ och ${\displaystyle y=1}$ —

${\displaystyle 2^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}+\cdots +{\binom {n}{n}}.}$

• Med hjälp av binomialsatsen går det att visa att om en mängd består av ${\displaystyle n}$ element, så är antalet delmängder med ett udda antal element lika med antalet delmängder med ett jämnt antal element.

Om binomialsatsen tillämpas för de två talen ${\displaystyle x=1\,}$ och ${\displaystyle y=-1\,}$ ger detta

${\displaystyle 0=(1+(-1))^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{k}={\binom {n}{0}}-{\binom {n}{1}}+{\binom {n}{2}}-\cdots +(-1)^{n}{\binom {n}{n}}.}$

Om heltalet ${\displaystyle n}$ är jämnt finns det

${\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{2}}+\cdots +{\binom {n}{n}}}$

stycken delmängder med ett jämnt antal element, och

${\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{3}}+\cdots +{\binom {n}{n-1}}}$

delmängder med ett udda antal element. Motsvarande resultat gäller då ${\displaystyle n}$ är ett udda tal.

Newtons generaliserade binomialsats

Isaac Newton visade att satsen kan generaliseras till att gälla även då exponenten inte är ett heltal

${\displaystyle (x+y)^{r}=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{k}y^{r-k}}$

där ${\displaystyle r}$ kan vara ett godtyckligt komplext tal och ${\displaystyle |x/y|<1}$. Binomialkoefficienterna ges då av

${\displaystyle {r \choose k}={\frac {1}{k!}}\prod _{j=0}^{k-1}(r-j)={\frac {r(r-1)(r-2)\ldots (r-k+1)}{k!}}}$

När ${\displaystyle k=0}$ reduceras denna produkt till en tom produkt och är lika med 1.

Andra generaliseringar

Abel

Niels Henrik Abel generaliserade 1826 binomialsatsen till

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x(x-kz)^{k-1}(y+kz)^{n-k}}$

som gäller för ${\displaystyle x\not =0}$ och icke-negativa heltal n. Formeln ger den vanliga binomialsatsen när ${\displaystyle z=0}$.

Cauchy

Augustin Louis Cauchy gav 1843 en s.k. q-analog generalisering av binomialsatsen enligt

${\displaystyle (x+y)(x+qy)\ldots (x+q^{n-1}y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}_{\!q}q^{k(k-1)/2}x^{n-k}y^{k}}$

för icke-negativa heltal n. I denna formel definieras q-binomialkoefficienterna (även kallade gaussiska polynom) av

${\displaystyle {n \choose k}_{\!q}={\frac {(n)_{q}!}{(n-k)_{q}!\,(k)_{q}!}}}$

där ${\displaystyle (n)_{q}}$ och ${\displaystyle (n)_{q}!}$ är beteckningar för

${\displaystyle (n)_{q}=1+q+\cdots +q^{n-1}\quad {\text{och}}\quad (n)_{q}!=(n)_{q}(n-1)_{q}\ldots (1)_{q}}$

Bevis av binomialsatsen

Det går att bevisa binomialsatsen med hjälp av matematisk induktion. Först visas att binomialsatsen gäller för det naturliga talet ${\displaystyle n=1}$. Sedan antas att binomialsatsen är sann för det naturliga talet ${\displaystyle n=N}$. Därefter visas att detta innebär att binomialsatsen är sann för det efterföljande naturliga talet: ${\displaystyle N+1}$. Beviset avslutas sedan genom att åberopa induktionsaxiomet, vilket leder till slutsatsen att binomialsatsen är sann för varje naturligt tal ${\displaystyle n}$.

Det räcker att bevisa satsen då talet ${\displaystyle y=1}$, eftersom

${\displaystyle (x+y)^{n}=\left(y\left({\frac {x}{y}}+1\right)\right)^{n}=y^{n}\left(1+{\frac {x}{y}}\right)^{n}.}$

Låt ${\displaystyle x}$ vara ett godtyckligt valt (reellt eller komplext) tal. För det naturliga talet n = 1 gäller

${\displaystyle (1+x)^{1}=1+x={\binom {1}{0}}+{\binom {1}{1}}x=\sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}x^{k},}$

vilket stämmer med binomialsatsen.

Antag att satsen är sann för det naturliga talet ${\displaystyle n=N}$:

${\displaystyle (1+x)^{N}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N},\qquad c_{k}={\binom {N}{k}}}$

vilket är det så kallade induktionsantagandet.

För det efterföljande naturliga talet ${\displaystyle n=N+1}$ utvecklas potensen ${\displaystyle (1+x)^{n}}$ och koefficienterna grupperas:

${\displaystyle (1+x)^{N+1}=c_{0}+(c_{1}+c_{0})x+\cdots +(c_{N}+c_{N-1})x^{N}+c_{N}x^{N+1}.}$

Sedan visas att en godtycklig koefficient i denna utveckling kan skrivas som

${\displaystyle c_{k}+c_{k-1}={\binom {N+1}{k}},\qquad k=1,\dots ,N.}$

Induktionsantagandet innebär att koefficienten

${\displaystyle c_{k}={\binom {N}{k}},\qquad k=1,2,\dots ,N}$

och följande beräkning, uttrycker summan ${\displaystyle {\binom {N}{k}}+{\binom {N}{k-1}}}$ som binomialkoefficienten ${\displaystyle {\binom {N+1}{k}}:}$

Definitionerna av binomialkoefficient och fakultet ger

${\displaystyle {\binom {N}{k}}+{\binom {N}{k-1}}={\frac {N!}{(k-1)!(N-k)!}}\left({\frac {1}{k}}+{\frac {1}{N+1-k}}\right)={\frac {(N+1)!}{k!((N+1)-k)!}}={\binom {N+1}{k}}.}$

Följaktligen är koefficienterna ${\displaystyle c_{k}}$ sådana att

${\displaystyle c_{k}+c_{k-1}={\binom {N+1}{k}},}$

vilket innebär att utvecklingen av potensen ${\displaystyle (1+x)^{N+1}}$ kan skrivas som

${\displaystyle {\binom {N+1}{0}}+{\binom {N+1}{1}}x+{\binom {N+1}{2}}x^{2}+\cdots +{\binom {N+1}{N}}x^{N}+{\binom {N+1}{N+1}}x^{N+1};}$

där det faktum används att

${\displaystyle {\binom {N+1}{0}}=1={\binom {N+1}{N+1}}.}$

Utvecklingen av potensen ${\displaystyle (1+x)^{N+1}}$ kan kortfattat skrivas med hjälp av summasymbolen som

${\displaystyle (1+x)^{N+1}=\sum _{k=0}^{N+1}{\binom {N+1}{k}}x^{k},}$

vilket enligt binomialsatsen är resultatet då den tillämpas för heltalet ${\displaystyle N+1}$.

Det sista steget i beviset av binomialsatsen är att åberopa induktionsaxiomet, vilket innebär att om det går att visa att ett påstående — i detta fall utvecklingen av potensen ${\displaystyle (1+x)^{N}\,}$ — rörande de naturliga talen är sant för det naturliga talet ${\displaystyle N}$ och att det även är sant för talets efterföljare, ${\displaystyle N+1}$, så är påståendet sant för alla naturliga tal.

Eftersom talet ${\displaystyle x}$ var godtyckligt valt har följande påstående bevisats:

För varje (reellt eller komplext) tal ${\displaystyle x}$ och för varje naturligt tal ${\displaystyle n}$, kan potensen ${\displaystyle (1+x)^{n}\,}$ utvecklas enligt:

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}.}$

Vi lägger sista handen vid beviset genom att visa exponentieringen av det generella binomet ${\displaystyle x+y\,}$:

${\displaystyle (x+y)^{n}=y^{n}\left(1+{\frac {x}{y}}\right)^{n}=y^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\left({\frac {x}{y}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}\,y^{n-k}.}$

Härmed är beviset av binomialsatsen klart.

Se även

• Binomialfördelning
• Multinomialsatsen
• Pascals triangel

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Binomialsatsen.
  Bilder & media