Kubna funkcija

Kubna funkcija u matematici je svaka funkcija oblika: f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,} , gdje je a različito od nule.

Karakteristične vrijednosti kubne funkcije

f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 6 x − 8 {\displaystyle f(x)=x^{3}+3x^{2}-6x-8\,\!}

Kubna funkcija kao i svaka druga polinomna funkcija ima neke karakteristične vrijednosti koje u koordinatnom sustavu na grafu funkcije predočavaju, na primjer, nulišta funkcije ili njene ekstreme (slika desno).

Nulišta kubne funkcije

U analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nulišta funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kubne jednadžbe:

x 3 + 3 x 2 − 6 x − 8 = 0 {\displaystyle x^{3}+3x^{2}-6x-8=0\,}

rješenja koje su :

x 1 = − 4 , x 2 = − 1 , x 3 = 2 {\displaystyle x_{1}=-4,x_{2}=-1,x_{3}=2\,}

Točke (-4, 0), (-1, 0) i (2, 0 ) predstavljaju zato nultočke grafa kubne funkcije sa slike.

Ukoliko općenito graf funkcije siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, u tri točke tada će nulišta funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kubne jednadžbe realna. No, međutim, ukoliko graf funkcije siječe x-os samo u jednoj točki, tada će kubna jednadžba imati jedno realno rješenje dok će se dva rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva i to kao konjugirano-kompleksni par brojeva.

Ekstremi kubne funkcije

Kubna funkcija ima dva ekstrema, jedan minimum i jedan maksimum funkcije. Za funkciju

y = x 3 + 3 x 2 − 6 x − 8 {\displaystyle y=x^{3}+3x^{2}-6x-8\,}

točke ekstrema funkcije nalazimo diferencirajući gornju jednadkost:

d y = 3 x 2 d x + 6 x d x − 6 d x {\displaystyle dy=3x^{2}dx+6xdx-6dx\,}

odakle slijedi da je

d y = ( 3 x 2 + 6 x − 6 ) d x {\displaystyle dy=(3x^{2}+6x-6)dx\,}
y ′ = d y d x = 3 x 2 + 6 x − 6 = x 2 + 2 x − 2. {\displaystyle y'={\frac {dy}{dx}}=3x^{2}+6x-6=x^{2}+2x-2.\,}

Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0, gdje na temelju rješenja kvadratne jednadžbe zaključujemo da će kubna funkcija imati ekstreme u točkama

x 1 , 2 = − 1 ± 3 . {\displaystyle x_{1,2}=-1\pm {\sqrt {3}}.\,}

O vrsti ekstrema (maksimum ili minumum funkcije) zaključuje se iz druge derivacije funkcije.

Literatura

  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
  • Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.