Konusni presjek

U matematici stožasti ili konusni presjek (ponekad stožnica) označava krivulju koja se dobije presjecanjem stošca s ravninom. Konusni presjeci se proučavaju od 200. pne. kada je njihovo sistemnatsko proučavanje započeo Apolonije iz Perge.

Postoje različiti slučajevi presjeka.

Dijele se na:

• degenerisane

1. tačka
2. prava
3. dvije prave koje se sijeku

• degenerisane krive II stepena čine 2 prave koje mogu biti

1. par pravi sa presjekom u konačnosti (ukrštene prave)
2. par konjugovano imaginarnih pravi sa realnim presjekom u konačnosti (ukrštene imaginarne prave)
3. par pravi sa presjekom u beskonačnosti (paralelne prave)
4. par konjugovano imaginarnih pravi sa realnim presjekom u beskonačnosti (paralelne imaginarne prave)
5. dvostruka realna prava u konacnosti
6. dvostruka prava u konačnosti i prava u beskonačnosti
7. dvostruka beskonačno daleka prava

• nedegenerisane

Svaka kriva II stepana i prava u njenoj ravni mogu imati 2 zajedničke tačke. Te tačke mogu biti

1. realne i različite - prava i kriva se sijeku
2. realne i podadarne - prava i kriva se dodiruju
3. konjugirano imaginarne - prava i kriva se ne sijeku

Hiperbola je nedegenerisana kriva II stepena koju sijeće beskonačno daleka prava

Parabola je nedegenerisana kriva II stepena koju beskonačno daleka prava dodiruje u beskonačno dalekoj tački njene ose.

Elipsa je nedegenerisana kriva II stepena koja nema realnih tačaka na beskonačno dalekoj pravoj

Kupu II stepena možemo posmatrati kao skup pravi koji spajaju tačke neke nedegenerisane konike s jednom tačkom u konačnosti koja ne leži u ravni te konike. Istaknutu tačku nazivamo vrhom kupe, a spojnice tog vrha s tačkama konike izvodnicama kupe.

Valjak II stepena možemo posmatrati kao skup pravi koji spajaju tačke neke nedegenerisane konike s jednom beskonačno dalekom tačkom koja ne leži u ravni te konike. Te paralelne prave nazivamo izvodnicama valjka, a njihov beskonačno daleki presjek vrhom valjka.

Ako ravan prolazi vrhom kupe ili valjka II stepena presječna kriva je degenerisana konika. (Ravan paralelna s izvodnicama valjka prolazi njegovim beskonačno dalekim vrhom). Degenerisane konike koje mogu biti rezultat takvog sječenja su sljedeće:

1. par realnih ukrštenih pravi (presjek može biti samo na kupi),
2. par realnih paralelnih pravi (presjek može biti samo na valjku),
3. jedna dvostruk prava (ravan je tangencijalna ravan kupe ili valjka),
4. par konjugirano imaginarnih pravi sa presjekom u konačnosti (presjek može biti samo na kupi),
5. par konjugirano imaginarnih paralelnih pravi (presjek može biti samo na valjku).

Svaka ravan koja ne prolazi vrhom kupe II stepena sijeće tu kupu po nedegenerisanoj konici. Ta je konika:

1. Hiperbola, ako je presječna ravan paralelna s 2 izvodnice kupe
2. Parabola, ako je presječna ravan paralelna s jednom izvodnicom kupe
3. elipsa, ako presječna ravan nije paralelna niti s jednom izvodnicom kupe

Za razliku od kupe, na kojem uvijek postoje sva tri tipa nedegenerisanih konika, na valjku II stepena uvijek postoji samo jedan tip nedegenerisanih konika. Beskonačno daleka ravan prolazi beskonačno dalekim vrhom valjka i siječe ga u dvije izvodnice. Te izvodnice mogu biti:

1. realne i različite,
2. realne i podudarne (beskonačno daleka ravan tangencijalna je ravan valjka)
3. par konjugirano imaginarnih pravi.

Zavisno o tome kakav je njegov presjek s beskonačno dalekom ravni valjak II stepena je:

1. hiperbolički
2. parabolički
3. eliptički

Ravan koja nije paralelna s izvodnicama valjka II stepena siječe:

1. hiperbolički valjak uvijek po hiperboli
2. parabolički uvijek po paraboli
3. eliptički uvijek po elipsi.

U analitičkoj geometriji, konika se može definisati kao ravanska algebarska kriva II reda. Konike su značajne za mnoge oblasti:

• u astronomiji: nebeska tijela se kreću putanjama koje su konike
• u optici konstrukcija sočiva i ogledala
• u mehanici
• često se primjenjuju i u paleontologiji za razumjevanje izgleda određenih organizama.

Za konusne presjeke se definišu elementi konusnih presjeka:

1. centar
2. ose
3. dijametri
4. asimptote
5. asimptotske prave
6. polare i
7. tangente

Za sve konike, osim kruga, važi da postoji tačka ${\displaystyle F}$ koja se naziva žiža konike, i prava ${\displaystyle d}$ koja se naziva direktrisa takve da je odnos rastojanja proizvoljne tačke ${\displaystyle M}$ konike do žiže ${\displaystyle F'}$ i direktrise ${\displaystyle d}$ konstantan.

${\displaystyle e={\frac {MF}{d(M,d)}}}$

Taj odnos se naziva ekscentricitetom konike i označava sa ${\displaystyle e}$.

• za ${\displaystyle 0<e<1}$ konika je elipsa
• za ${\displaystyle e=0}$ konika je krug
• za ${\displaystyle e=1}$ konika je parabola
• za ${\displaystyle e>1}$ konika je hiperbola.

${\displaystyle r={\frac {l}{1-e\cos {\theta }}}}$,
${\displaystyle l={\frac {b^{2}}{a}}}$, gdje su ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ poluose konike.

${\displaystyle d}$ (direktrisa) konstantna veličina.

Žiža kruga je ujedno i njegov centar, a direktrisa je beskonačno daleka prava.

Elipsa i hiperbola imaju dvije žiže odgovarajuće direktrise.

Parabola ima samo jednu žižu i jednu direktrisu.

Još jedna osobina zajednička za sve konike, osim parabole, je linearni ekscentricitet. Linearni ekscentricitet predstavlja udaljensost centra konike do njene žiže, ili jedne od žiža. Najčešće se označava sa ${\displaystyle c}$.

Tetiva koja prolazi kroz žižu ili jednu od dvije žiže konike i paralelna je direktrisi naziva se latus rectum. Žižni (fokusni) parametar konike je rastojanje između žiže, ili jedne od žiža konike, i direktrise. Označava se sa ${\displaystyle p}$.

konika	kanonska jednačina	ekscentricitet ${\displaystyle e}$	linearni ekscentricitet (${\displaystyle c}$)	latus rectum (${\displaystyle l}$)	fokusni parametar(${\displaystyle p}$)
krug	${\displaystyle {x^{2}}+{y^{2}}=r^{2},\ r>0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle r}$	${\displaystyle \infty }$
elipsa	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\ a>b>0}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}}}$
parabola	${\displaystyle y^{2}=2px,\ p>0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle -}$	${\displaystyle 2a}$	${\displaystyle 2a}$
hiperbola	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\ a,b>0}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {{a^{2}}+{b^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {{a^{2}}+{b^{2}}}}}}$

U Dekartovom koordinantnom sistemu, grafik kvadratne funkcije dvije nepoznate ${\displaystyle f(x,y)}$ može biti konusni presjek.

Jednačina konusnih presjeka je oblika

${\displaystyle f(x,y)\equiv Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$ gdje ${\displaystyle A,B,C,D,EiF}$ nisu svi jednaki nuli.

Kako skaliranje konstanti ${\displaystyle A,B,C,D,EiF}$ ne utiće na skup nula funkcije ${\displaystyle f(x,y)}$, konusni presjeci se mogu posmatrati kao tačke u petodimenzionom projektivnom prostoru ${\displaystyle P^{5}}$.

Linearni ekscentricitet je dat sa:

${\displaystyle c=\left({\frac {le}{1-e^{2}}}\right)}$

Iz opštih formula, različiti konusni presjeci mogu u Dekartovim koordinatama biti predstavljeni na sljedeći način:

• Krug: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$
• Elipsa: ${\displaystyle {\frac {(x-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$
• Parabola: ${\displaystyle y^{2}=4a(x+a)}$
• Hiperbola: ${\displaystyle {\frac {(x+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

Konusni presjeci dati ovom jednačinom mogu da se klasifikuju prema vrijednosti diskriminante ${\displaystyle B^{2}-4AC}$ .

Ako konusni presjeci nisu degenerisani, tada:

• za ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$, jednačina predstavlja elipsu
• za${\displaystyle A=C}$ и ${\displaystyle B=0}$, jednačina predstavlja krug,
• ако је ${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$, jednačina predstavlja parabolu
• za ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$, jednačina predstavlja hiperbolu
• ako važi i ${\displaystyle A+C=0}$, jednačina predstavlja pravougaonu hiperbolu

Kako bi razlikovali degenerisane slučajeve od standardnih (nedegenerisanih), neka je ${\displaystyle \Delta }$ determinanta 3x3 matrice:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$, tj. ${\displaystyle \Delta =(AC-B^{2}/4)F+BED/4-CD^{2}/4-AE^{2}/4}$.

Konusni presjek nije degenerisan ako i samo ako je ${\displaystyle \Delta \neq 0}$.

Ako je ${\displaystyle \Delta =0}$ u pitanju je neki od slučajeva degenerisanih konusnih preseka.

Algebarska kriva drugog reda u ravni je skup tačaka opisan jednačinom oblika:

${\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$

gdje je bar jedan od brojeva ${\displaystyle a_{11}}$, ${\displaystyle a_{12}}$ ili ${\displaystyle a_{22}}$ različit od nule.

• Matrica ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$ je velika matrica krive, gdje je uzeto ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$

• Matrica ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$ je mala matrica krive, gdje je uzeto ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}}$.

• ${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}}$
• ${\displaystyle A_{33}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{vmatrix}}}$
• ${\displaystyle S=a_{11}+a_{12}}$

Ako se u odnosu na neki drugi pravougli koordinatni sistem jednačina krive mijenja i njeni koeficienti su neki potencijalno drugi brojevi ${\displaystyle a'_{i}j}$ važice:

${\displaystyle A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}=}$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a'_{11}&a'_{12}&a'_{13}\\a'_{21}&a_{22}&a'_{23}\\a'_{31}&a'_{32}&a'a_{33}\end{vmatrix}}}$

tj. ${\displaystyle A=A'}$. Važi i za brojeve ${\displaystyle A_{33}=A'_{33}}$ i ${\displaystyle S_{33}=S'_{33}}$

Iz tog razloga se za ove brojeve kaže da su invarijante krive date jednačinom ${\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$

• Ako je ${\displaystyle A=0}$ onda kriva data jednačinom

${\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$ nije konusni presjek.

• Ako je ${\displaystyle A\neq 0}$ onda:

1. za ${\displaystyle A_{33}=0}$ kriva jeparabola
2. za ${\displaystyle A_{33}<0}$ kriva je hiperbola
3. za ${\displaystyle A_{33}>0}$ kriva je kružnica, elipsa ili prazan skup.

• Ako je ${\displaystyle A\neq 0}$ ${\displaystyle A_{33}>0}$ onda

1. Ako su ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle A}$ istog znaka kriva je prazan skup
2. Ako su ${\displaystyle S}$ i ${\displaystyle A}$ istog znaka kriva je kružnica ili elipsa.

Ako je kriva kružnica onda u odnosu na svaki pravougli koordinatni sistem važi:

${\displaystyle a_{11}=a_{22}}$ , ${\displaystyle a_{12}=0}$

Obrnuto, kakav god da je pravougli koordinatni sistem zadat, ako važi

${\displaystyle a_{11}=a_{22}}$ , ${\displaystyle a_{12}=0}$ onda je kriva ili prazan skup ili kružnica.

Za pravu određenu vektorom {${\displaystyle \alpha ,\beta }$ }${\displaystyle \neq {\overrightarrow {0}}}$ tj ako

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}{\alpha ,\beta }\end{Bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \\\end{bmatrix}}=[0]}$

Svaka tačka u odnosu na koju je konusni presjek (centralno) simetričan naziva se centar konusnog presjeka . Svaka prava u odnosu na koju je konusni presjek (osno) simetričan naziva se osa konusnog presjeka.

Kružnica, elipsa i hiperbola imaju tačno jedan centar.

Prava je osa kružnice ako i samo ako prolazi kroz njen centar.

Elipsa i hiperbola imaju tačno dvije ose. Te dvije ose se sijeku u tom centru i grade pravi ugao.

Za parabolu ne postoji centar ali postoji tačno jedna osa.

Za kružnicu i elipsu ne postoje asimptotske prave. Za hiperbolu postoje tačno dvije asimptotske prave. Za parabolu postoji tačno jedna asimptotska prava i to je upravo prava njene ose.

Prave kroz centar konusnog presjeka koje su asimptotske prave nazivaju se asimptote konusnog presjeka.

Hiperbola ima tačno dvije asimptote (i one odgovaraju asimptotskim pravama). Parabola nema asimptote (ali ima jednu asimptotsku pravu). Kružnica i elipsa nemaju asimptote (a ni asimptotske prave).

Svaka prava sa bilo kojim konusnim presjekom može da ima 2, 1 ili nijednu zajedničku tačku. Svaka prava sa bilo kojom algebarskom krivom drugog reda može da ima 2, 1, nijednu zajedničku tačku ili, ako ih ima više od 2, onda cijela leži na toj krivoj. Ta kriva je onda: prava, par paralelnih pravi ili par pravih koje se sijeku u jednoj tački. Prava koja sa konusnim presjekom ima tačno jednu zajedničku tačku a nije asimptotska prava naziva se tangenta konusnog presjeka.

U svakoj tački konusnog presjeka može da se postavi tačno jedna tangenta. Ako tačka nije na konusnom presjeku onda kroz nju prolazi

• nijedna tangenta tog konusnog presjeka (ta tacka je unutar konusnog presjeka)
• tačno dvije tangente ( ta tacka je van konusnog presjeka).

Asimptote i konusni presjek, preciznije hiperbola, nemaju zajedničkih tačaka.

Prave asimptotske prave ${\displaystyle a}$ koje nisu asimptote imaju tačno jednu zajedničku tačku sa konusnim presjekom.

Neka je data prava ${\displaystyle p:{\begin{cases}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{cases}}}$ ${\displaystyle t\in R}$

kroz tačku ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ u pravcu vektora {${\displaystyle \alpha ,\beta }$ }${\displaystyle \neq {\overrightarrow {0}}}$

Zamjenom u jednačini

${\displaystyle a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0}$ dobija se jednačina oblika:

${\displaystyle rt^{2}+qt+s=0}$ za neke brojeve ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in R}$. Neka je ${\displaystyle \triangle }$ diskriminanta gornjeg polinoma.

• Prava je tangenta ako i samo ako ${\displaystyle r\in 0}$ i ${\displaystyle \triangle =0}$.
• Prava je asimptotska prava ako i samo ako je ${\displaystyle r=0}$
• Prava je asimptota ako i samo ako ${\displaystyle r=0}$, ${\displaystyle q=0}$, ${\displaystyle s\in 0}$.
• Prava sijeće konusni presjek u dvije različite tačke ako i samo ako ${\displaystyle r\neq 0}$, ${\displaystyle \triangle >0}$.

Ako se parametarske jednačine prave ${\displaystyle p}$ zapišu koristeći neku drugu njenu tačku i/ili neki drugi njen vektor pravca, i/ili ako se jednačine prave i konusnog presjeka posmatraju u odnosu na neki drugi pravougli koordinatni sistem, dobiće se neka jednačina

${\displaystyle r't^{2}+q't+sx'=0}$ i odgovarajuća diskriminanta ${\displaystyle \triangle '}$ , gdje ${\displaystyle (r',q',s')}$ ne mora biti jednako sa ${\displaystyle (r,q,s)}$, a ni ${\displaystyle \triangle '}$ ne mora biti isti broj kao i ${\displaystyle \triangle }$.

Međutim, uvijek će važiti jedan te isti slučaj od četiri gore navedenih. Ne može se desiti da je prava tangenta gledano iz prve perspektive, a da gledano iz druge ona to nije.

Neka je data neasimptotska prava vektorom ${\displaystyle {\vec {v}}\neq {\vec {0}}}$. Ako je ${\displaystyle l}$ proizvoljna prava paralelna sa ${\displaystyle {\vec {v}}}$ koja siježe konusni presjek u 2 različite tačke ${\displaystyle A_{l}}$ i ${\displaystyle B_{l}}$ označimo sa ${\displaystyle M_{l}}$ središte duži ${\displaystyle A_{l}B_{l}}$. Postoji jedinstvena prava koja sadrži sva takva središta ${\displaystyle M_{l}}$ za sve onakve prave ${\displaystyle l||{\vec {v}}}$. Ta prava se naziva dijametar spregnut (konjugovan) sa pravom određenim vektorom ${\displaystyle {\vec {v}}}$

Za kružnicu i elipsu važi prava je dijametar ako i samo ako prolazi kroz centar.

Za hiperbolu važi prava je dijametar ako i samo ako nije asimptotska prava i prolazi kroz centar.

Za parabolu važi prava je dijametar ako i samo ako je paralelna sa osom parabole.

Dakle svi dijametri parabole su paralelni međusobno i onog jedinstvenog su asimptotska prava ali spregnuti su sa neasimptotskom pravom.

• Ako su ${\displaystyle d_{1}}$ i ${\displaystyle d_{2}}$ dva dijametra onda se kaze da je ${\displaystyle d_{1}}$ spregnut (ili konjugovan) sa ${\displaystyle d_{2}}$ ako je ${\displaystyle d_{1}}$ spregnut sa pravcem prave ${\displaystyle d_{2}}$.

Važi: ${\displaystyle d_{1}}$ je konjugovan sa ${\displaystyle d_{2}}$ ako i samo ako je ${\displaystyle d_{2}}$ konjugovan sa ${\displaystyle d_{1}}$ (dakle ovo je simetricna relacija). U tom slucaju se kaze da ${\displaystyle d_{1}}$ i ${\displaystyle d_{2}}$ cine par konjugovanih dijametara.

Kod parabole uopšte i ne postoje dva dijametra od kojih je jedan spregnut sa onim drugim. Ako su {${\displaystyle \alpha _{1},\beta _{1}}$} {${\displaystyle \alpha _{2},\beta _{2}}$ pravci dva konjugovana dijametra onda važi:

${\displaystyle \alpha _{11}\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{12}(\alpha _{1}\beta _{2}+\alpha _{2}\beta _{1})+\alpha _{22}\beta _{1}\beta _{2}}$

Kod kružnice vazi: 2 dijametra su konjugovana ako u samo ako su međusobno normalni.

Kod elipse i hiperbole, od svih parova konjugovanih dijametara tačno je jedan par konjugovanih dijametara koji su i i međusobno normalni. Taj par su upravo ose simetrije

Kod parabole samo je jedan dijametar normalan na pravu sa kojim je spregnut. Taj dijametar je osa parabole.

Za par tačaka ${\displaystyle (A,B)}$ se kaze da je (harmonijski) konjugovan sa parom tačaka ${\displaystyle (M,N)}$ ako su ${\displaystyle A,B,M,N}$ četiri različite kolinearne tačke i ako postoji broj ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ tako da važi

${\displaystyle {\overrightarrow {AM}}=\lambda {\overrightarrow {MB}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AN}}=\lambda {\overrightarrow {NB}}}$

Ovaj poslednji uslov se označava i sa:

${\displaystyle {\frac {\overrightarrow {AM}}{\overrightarrow {MB}}}={\frac {\overrightarrow {AN}}{\overrightarrow {NB}}}}$

Ovo nije dijeljenje vektora. Kaže se i da je tačka ${\displaystyle M}$ konjugovana sa tačkom ${\displaystyle N}$ u odnosu na par (${\displaystyle A,B)}$.

Ako su ${\displaystyle M,A,B}$ tri različite kolinearne tačke onda: na pravoj ${\displaystyle MAB}$ postoji tačka koja je konjugovana sa ${\displaystyle M}$ u odnosu na ${\displaystyle (A,B)}$. Ta tačka je jedinstvena ako i samo ako ${\displaystyle M}$ nije središte duži ${\displaystyle AB}$.

Neka je data tačka ${\displaystyle P}$ koja nije na konusnom presjeku. Ako je ${\displaystyle l}$ proizvoljna prava koja prolazi kroz ${\displaystyle P}$ koja konusni presjek siječe u 2 razlicite tačke ${\displaystyle A_{l}}$ i ${\displaystyle B_{l}}$ tako da ${\displaystyle P}$ nije središte duži ${\displaystyle A_{l}B_{l}}$, označimo sa ${\displaystyle Q_{l}}$ o tačku prave ${\displaystyle l}$ koja je konjugovana sa ${\displaystyle P}$ u odnosu na par ${\displaystyle (A_{l},B_{l})}$. Za ${\displaystyle Q_{l}}$ se kaže da je (harmonijski) konjugovana sa ${\displaystyle P}$ u odnosu na dati konusni presjek.

Postoji jedinstvena prava koja sadrži sve takve tačke ${\displaystyle Q_{l}}$ konjugovane sa ${\displaystyle P}$ u odnosu na dati konusni presjek, za sve onakve prave ${\displaystyle l}$. Ta prava se naziva polara za pol (ili sa polom) ${\displaystyle P}$. Tačka ${\displaystyle P}$ je pol te polare.

Ako je jednačina konusnog presjeka ${\displaystyle K}$ data koeficientima:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}}$ onda

Jednačina tangente u tački {${\displaystyle x_{0},y_{0}}$} sa tog konusnog presjeka je:

${\displaystyle (a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13)}x+(a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23})y+(a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33})=0}$

Jednačina polare sa polom ${\displaystyle P}$

${\displaystyle (a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13)}x+(a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23})y+(a_{31}x_{0}+a_{32}y_{0}+a_{33})=0}$

Jednačina dijametra konjugovanog sa (neasimptotskom) pravom određenom vektorom {${\displaystyle {\vec {\alpha ,\beta }}}$} je:

${\displaystyle (a_{11}x+a_{12}y+a_{13})+(a_{21}x+a_{22}y+a_{23})\beta =0}$

Jednačina asimptote u (asimptotskoj) pravoj određenoj vektorom {{${\displaystyle {\alpha ,\beta }}$}

${\displaystyle (a_{11}x+a_{12}y+a_{13})\alpha +(a_{21}x+a_{22}y+a_{23})\beta =0}$

Tačka { ${\displaystyle x_{0},y_{0}}$} je centar (simetrije) konusnog presjeka ako i samo ako zadovoljava:

${\displaystyle a_{11}x_{0}+a_{12}y_{0}+a_{13}=0}$

${\displaystyle a_{21}x_{0}+a_{22}y_{0}+a_{23}=0}$

Kod elipse i hiperbole pravac {${\displaystyle \alpha ,\beta }$} bilo koje od osa zadovoljava:

${\displaystyle a_{12}\beta ^{2}+(a_{11}-a_{22})\alpha \beta -a_{12}\alpha ^{2}=0}$

Iz ove jednačine se dobijaju prave osa (kao njena nenula rješenja) a ose su dijametri konjugovani s tim pravama pa im se jednačine nalaze kao u (3).

Kod parabole rješenja {${\displaystyle \alpha \beta }$}${\displaystyle \neq 0}$ jednačine (2) daju prave ose i pravu normalnu na nju.

Prava ose parabole (tj. njena asimptotska prava) je prava određena onim od vektora

{${\displaystyle a_{22},-a_{12}}$} ili {${\displaystyle -a_{12},-a_{12}}$} koji nije {${\displaystyle 0,0}$}.

Zato se osa kod parabole nalazi kao dijametar koji je konjugovan sa pravom određenom vektorom {${\displaystyle a_{12},a_{22}}$} ili {${\displaystyle a_{11},a_{12}}$} koji nije {${\displaystyle 0,0}$} (bar jedan od njih nije {${\displaystyle 0,0}$} jer bi u suprotnom bilo ${\displaystyle a_{11}=a_{12}=a_{22}=0}$).

Jednačina

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

se može napisati u obliku

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=-(Dx+Ey+F)}$.

Dakle, koniku možemo predstaviti kao presjek grafika kvadratne forme ${\displaystyle z=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$ i ravni ${\displaystyle z=-(Dx+Ey+F)}$.

Kada je konika zapisana algebarski kao:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,}$

ekscentricitet se može zapisati kao funkcija prarametara kvadratne jednačine.

Ako je ${\displaystyle 4AC=B^{2}}$, konika je parabola i njen ekscentricitet je jednak 1. U suprotnom slučaju, uzimajući u obzir da jednačina predstavlja hiperbolu ili neimaginarnu elipsu, eksentricitet je dat sa:

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}}}$

gdje je ${\displaystyle \eta =1}$ ako je determinanta matrice 3x3

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$ negativna, a ${\displaystyle \eta =-1}$ ako je ta determinanta pozitivna.

Trag i determinanta ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}}$ u invarijante u odnosu na rotaciju oko koordinatnih osa i translaciju ravni.

• 
  tačka
• 
  prava
• 
  2 prave

Degerisanim slučajem smatramo presjek ravni i konusa koji sadrži tjeme konusa. To mogu biti:

• tačka, kada je ugao između ravni i ose konusa veći od ugla između ose i izvodnice konusa (i manji od ${\displaystyle 180^{o}}$
• ugao između ose i izvodnice konusa)
• prava, kada je ugao izmedju ravni i ose konusa isti kao ugao između ose i izvodnice konusa
• dvije prave koje se sijeku, kada je ugao između ravni i ose konusa manji od ugla između ose i izvodnice konusa.

Kretanje tijela koje se ispaljuje sa visine ${\displaystyle h}$, sa pocetnom brzinom ${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ i pod uglom ${\displaystyle \alpha }$ u odnosu na tlo, kosi hitac, a putanja koju tijelo opisuje ovim kretanjem je parabola. Primjetimo da, ako zanemarimo otpor vazduha, osim početnih uslova, na tijelo će djelovati i gravitaciono polje.

Prvi Keplerov zakon kaže da se tijela Sunčevog sistema kreću oko Sunca po konici u čijoj se žiži nalazi Sunce. Večina planeta se kreće po približno kružnoj putanji, zato sto im je ekscentricitet blizak nuli (Zemljin 0.0167, a Jupiterov 0.0488). Interesantno je da Halejeva kometa ima ekscentricitet blizak jedinici (oko 0.995).

• 
• 
  Odbijanje zraka od reflektor

Radio antene se oslanjaju na optčke osobine konika. Radio talas, zbog velike talasne dužine, nije jednostavno detektovati, pa se zbog toga koriste paraboloidne antene, u čijoj se žiži nalazi prijemnik. Zbog velikih udaljenosti svi zraci koji padnu na površ su približno paralelni i odbiće se tačno u prijemnik (žižu paraboloida)

• 

Eliptički sto za bilijar koristi optičke osobine elipse. Ako bi se izveo udarac bez spina sa bijele tačke, u bilo kom pravcu, kugla bi ušla u rupu. Ta osobina stola se dobija time što se tačka sa koje se izvodi udarac i rupa nalaze u žižama elipse.

• Conic Section
• Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone?
• OCCURRENCE OF THE CONICS
• conics
• Konusni presjeci
• RASPADNUTE (DEGENERIRANE) KONIKE REALNE PROJEKTIVNE RAVNINE
• KLASIFIKACIJA KONIKA REALNE PROJEKTIVNE RAVNINE(prema vrsti sjecišta s beskonačno dalekim pravcem)
• Konike kao presjeci stožaca i valjaka 2. stepena
• Akopyan, A.V. and Zaslavsky, A.A. (2007). Geometry of Conics. American Mathematical Society. str. 134. ISBN 0821843230. 
• Derivations of Conic Sectionsat
• Conic sections at Special plane curves.
• Weisstein, Eric W., "Conic Section", MathWorld.
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.
• Conics Arhivirano 2007-10-06 na Wayback Machine-u. An essay on conics and how they are generated.
• See Conic Sections at cut-the-knot for a sharp proof that any finite conic section is an ellipse and Xah Lee for a similar treatment of other conics.
• Cone-plane intersection MATLAB code
• Eight Point Conic Arhivirano 2009-10-25 na Wayback Machine-u at Dynamic Geometry Sketches Arhivirano 2009-03-21 na Wayback Machine-u
• An interactive Java conics grapher; uses a general second-order implicit equation. Arhivirano 2009-10-25 na Wayback Machine-u