Inversarea matricilor

În algebra liniară, o matrice pătrată A n × n se numește inversabilă (sau nesingulară sau nedegenerată), dacă exisă o matrice pătrată B n × n astfel încât

${\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n}}$

unde I_n este matricea unitate n × n, iar înmulțirea se face după regula obișnuită a înmulțirii matricilor. În acest caz matricea B este determinată în mod unic de A, și este numită inversa lui A, notată A⁻¹.^[1][2] Inversarea unei matrice este procesul de calcul al matricei B.

Definiție

Matricea ${\displaystyle \mathbf {A} }$ de ${\displaystyle n\times n}$ se numește inversabilă dacă și numai dacă aceasta este nesingulară și există o altă matrice ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}$ de ${\displaystyle n\times n}$ astfel încât produsul lor să fie matricea unitate (${\displaystyle \mathbf {I} _{n}}$)^[3], mai exact

$${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {I} _{n}}$$

O matrice pătrată ${\displaystyle \mathbf {A} }$ este nesingulară respectiv singulară dacă determinantul matricei ${\displaystyle \mathbf {A} }$ este nenul (${\displaystyle \det \mathbf {A} \neq 0}$) respectiv nul (${\displaystyle \det \mathbf {A} =0}$).

Calculul inversei unei matrice

Inversa unei matrice 2 × 2

Inversa unei matrice ${\displaystyle 2\times 2}$ se calculează în felul următor:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$

Unde ${\textstyle {\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}$se mai notează cu ${\displaystyle A^{*}}$.

Metoda Cayley-Hamilton dă următoarea formula:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right]}$

unde ${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {A} }$ este suma elementelor de pe diagonala principală din ${\displaystyle \operatorname {tr} \mathbf {A} }$, numită urma unei matrice (din engleză trace)

Inversa unei matrice 3 × 3

Modul de calcul a inversei unei matrice ${\displaystyle 3\times 3}$ este asemănător cu cel anterior de ${\displaystyle 2\times 2}$, întrucât:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}$

(A nu se confunda scalarul ${\displaystyle A}$ cu matricea ${\displaystyle \mathbf {A} }$)

Unde elementele din cea de-a doua matrice (din nou des notată cu ${\displaystyle A^{*}}$) sunt calculate în felul următor:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}A&={}&(ei-fh),&\quad &D&={}&-(bi-ch),&\quad &G&={}&(bf-ce),\\B&={}&-(di-fg),&\quad &E&={}&(ai-cg),&\quad &H&={}&-(af-cd),\\C&={}&(dh-eg),&\quad &F&={}&-(ah-bg),&\quad &I&={}&(ae-bd).\\\end{alignedat}}}$$

Se observă că scalarul ${\displaystyle A}$ este determinantul matricei formate prin îndepărtarea din matricea ${\displaystyle \mathbf {A} }$ a coloanei și a rândului ce îl conțineau pe ${\displaystyle a}$, împreună cu semnul său (elementele de pe diagonale având semnul „+”, iar celelalte „−”).

Relația Cayley-Hamilton aferentă matricilor de ${\displaystyle 3\times 3}$ este următoarea: ${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left({\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right]\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right)}$

Note

Legături externe

• Matrice inversabile - teorie
• Matrice inversabile - exemplu de calcul