Variograma de indicatriz

O variograma de indicatriz (variograma por indicação) é um tipo de variograma experimental especifico para casos em que a variável de estudo é discreta apoiando-se no formalismo da indicatriz (também conhecido por função indicadora) o que implica que cada uma das amostras de uma amostragem ou pertence a um sub-conjunto (e por isso probabilidade 1) ou não (probabilidade 0). Para efeitos de utilização em métodos de geoestatística, como é caso da krigagem da indicatriz, é necessário fazer um variograma de indicatriz para cada sub-conjunto considerado na amostragem.

Formalismo da indicatriz

Se a variável ${\displaystyle Z(x)}$ for convertida para uma variável indicatriz ${\displaystyle I_{A}}$ temos que^[1]:

${\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A,\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A,\\0&{\mbox{se}}\ x\in A^{c}=X-A.\end{matrix}}\right.}$

No caso de transformação de variáveis contínuas (corrente em casos de geoestatística) o que, habitualmente, se faz é a utilização de valores de corte para discretização e posterior conversão em classes de indicatriz. Assim, considerando a variável ${\displaystyle I_{z}}$ para um valor de corte ${\displaystyle z}$ correspondente à amostra ${\displaystyle Z(x)}$ na população ${\displaystyle Z}$,o formalismo poderia ser exposto da seguinte maneira^[2]:

${\displaystyle \mathbf {I} _{z}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ Z(x)<z\\0&{\mbox{se}}\ Z(x)\geq z\end{matrix}}\right.}$

Isto implica que para cada amostra de uma amostragem há um vector subjacente indicando a probabilidade (1 ou 0) de a mesma amostra pertence ou não aos vários subconjuntos definidos pelo utilizador. Ilustrando um caso hipotético, se um conjunto de mínimo 10 e máximo 90 com 3 sub-conjuntos cujos valores de corte seriam 30,60,90 (${\displaystyle I_{3}0=}$[0,30], ${\displaystyle I_{6}0=}$[30,60], ${\displaystyle I_{9}0=}$[60,90]) então uma amostra de valor 33 teria associado o seguinte vector:

${\displaystyle [Prob(33\in I_{30}),Prob(33\in I_{60}),Prob(33\in I_{90})]=[0,1,0]\quad }$

Em que o primeiro termo do vector para cada amostra estaria sempre associado à classe ${\displaystyle I_{30}}$, o segundo a ${\displaystyle I_{60}}$ e terceiro a ${\displaystyle I_{90}}$ .

Definição

Para fazer um variograma de indicatriz basta seguir o mesmo processo do variograma experimental mas neste caso usando valores de indicatriz (presentes no vector associado a cada amostra). Para serem usados em métodos como a krigagem de indicatriz deve ser feito um variograma para cada uma das classes usando a seguinte fórmula:

${\displaystyle \gamma _{I_{z}}(x,x+h)={\frac {1}{2N(h)}}\sum _{x=1}^{N(h)}[I_{z}(x)-I_{z}(x+h)]^{2}\quad }$

A covariância estacionária de indicatriz é dada por (Soares,2006):

${\displaystyle C_{I_{z}}(x,x+h)={\frac {1}{2N(h)}}\sum _{x=1}^{N(h)}[I_{z}(x)I_{z}(x+h)]-m_{i}^{2}\quad }$

na qual ${\displaystyle m_{i}^{2}}$ é correspondente ao valor esperado de ${\displaystyle I_{z}}$, melhor dizendo a probabilidade deste evento acontecer na amostragem:

${\displaystyle m_{i}^{2}=E\{I_{z}(x)\}=Prob\{Z(x)<z\}\quad }$

Finalmente o correlograma da indicatriz é dado por:

${\displaystyle \rho _{I}(x,x+h)={\frac {C_{I_{z}}(x,x+h)}{\sigma _{I}^{2}(z)}}\quad }$

onde:

${\displaystyle \sigma _{I}^{2}(z)=E[I_{z}(x)-m_{I}(z)]^{2}=m_{I}(z)[1-m_{I}(z)]\quad }$

Discussão

Fazer um variograma da indicatriz em métodos de geoestatística implica fazer um para cada sub-conjunto considerado, melhor dizendo um variograma para cada um dos termos do vector associado às amostras como se vê na secção Formalismos da indicatriz.

Ver também

• Formalismo da indicatriz
• Variograma
• Função de covariância
• Função correlograma

Referências