Teoria dos erros

O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.).^[1]

Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real.

Tipos de erro

• Erros nos dados experimentais e nos valores dos parâmetros:
  • Sistemáticos (nos dados de entrada) - Erros que atuam sempre no mesmo sentido e podem ser eliminados mediante uma seleção de aparelhagem e do método e condições de experimentação. A coleta de dados decorrente de medidas das observações e experimentos, na maioria das vezes, traz consigo erros que são inerentes aos próprios instrumentos de medida.
  • Fortuitos (gerados pelo modelo) - Erros com origem em causas indeterminadas que actuam em ambos os sentidos de forma não previsível. Estes erros podem ser atenuados, mas não completamente eliminados.
• Erros de truncatura - Resultam do uso de fórmulas aproximadas, ou seja, uma truncatura da realidade.É preciso fazermos a substituição de uma expressão ou fórmula infinita por uma finita ou discreta. Por exemplo, quando se tomam apenas alguns dos termos do desenvolvimento em série de uma função.
• Erros de arredondamento - Resultam da representação de números reais com um número finito de algarismos significativos.

^[2]

Erro absoluto e erro relativo

A partir do momento em que se calcula um resultado por aproximação, é preciso saber como estimar e delimitar o erro cometido nessa aproximação. Todos os tipos de erro acima podem ser expressos como "erro absoluto" ou como "erro relativo". Também, pode ser tratados pela Análise Numérica ou pela Estatística.^[3]

Seja ${\displaystyle X}$ um número com valor exacto e ${\displaystyle x}$ um valor aproximado de ${\displaystyle X}$. A diferença entre o valor exato e o valor aproximado é o erro de X

Ao módulo deste valor, chama-se de Erro absoluto de X.

Como geralmente não temos acesso ao valor exato ${\displaystyle X}$, o erro absoluto não tem na maior parte dos casos utilidade prática. Assim, temos que determinar um majorante de ${\displaystyle \Delta }$. Este valor designa-se de ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$. Satisfaz a condição:

O mínimo do conjunto dos majorantes ${\displaystyle {\bar {\Delta }}}$ de ${\displaystyle \Delta }$, chama-se "erro máximo absoluto" em que ${\displaystyle x}$ representa ${\displaystyle X}$.

Em face das regras de arredondamento consideradas, um número com ${\displaystyle m}$ casas decimais deve supor-se afectado de um erro máximo absoluto de:

Geralmente, mais útil do que o erro máximo absoluto é a relação entre este e a grandeza que está afectada pelo erro.

Ao quociente entre o "erro absoluto" e o módulo do valor exacto, chama-se Erro relativo de ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta }{|X|}}}$

No entanto, na prática não temos acesso ao erro relativo e temos que usar o majorante deste.

Se ${\displaystyle \Delta }$ muito menor que ${\displaystyle X}$ então,

${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta }{|X|}}\leq {\frac {\bar {\Delta }}{|x|}}}$

Exemplos

Sejam os valores ${\displaystyle x}$=0.000006 e ${\displaystyle {\bar {x}}}$=0.000004, o erro absoluto é de 2x10^-6 e o erro relativo é de 0,33333...

Seja ${\displaystyle p}$=${\displaystyle \scriptstyle {\pi }}$ e ${\displaystyle p}$^*=3,1416, o erro absoluto é de 7.346x10^-6 e o erro relativo é de 2.338x10^-6.

Seja ${\displaystyle v}$ = 40320 e ${\displaystyle v}$^*=39990, o erro absoluto é de 4.2x10^-2 e o erro relativo é de 1.042x10^-2. ^{[4] [5]}

Primeiro problema fundamental da teoria dos erros

Estando os dados de um problema afetados de erro, calcula-se um majorante do erro em que a solução calculada representa a solução exata.

1. Erro na avaliação de funções de uma variável

${\displaystyle \Delta x\leq |f'(x)|\Delta {\bar {x}}}$

2. Erro na avaliação de funções com mais de uma variável

${\displaystyle \Delta x\leq \sum _{k=1}^{N}|{\frac {\delta f}{\delta x_{i}}}|{\bar {\Delta x_{i}^{0}}}}$

que é a Fórmula Fundamental da Teoria dos Erros

Problema inverso da teoria dos erros

O problema inverso da teoria dos erros consiste em determinar a precisão com que se devem utilizar os valores aproximados ${\displaystyle x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0},...x_{n}^{0}}$ de ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}}$ para que ${\displaystyle f(x_{1}^{0},x_{2}^{0},x_{3}^{0},...x_{n}^{0})}$ seja um valor aproximado de ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})}$ com erro máximo absoluto inferior a um valor ${\displaystyle \epsilon }$ pré-estabelecido.

Por simplicidade escolhe-se entre:

1. Princípio das influências iguais
2. Princípio dos erros iguais

Ver também

• Estatística
• Desvio padrão

Referências

Ligações externas

• «Vocabulário Internacional de Metrologia» (PDF) 

• Portal da física
• Portal de probabilidade e estatística