Teorema do virial

O teorema do virial estabelece que a energia cinética média de um sistema de partículas é igual ao seu virial para os casos em que o valor médio de G seja constante, ou seja, ${\displaystyle \langle {\frac {dG}{dt}}\rangle =0}$:^[1]

${\displaystyle \langle T\rangle =S=-{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle }$ .

Considere-se a seguinte quantidade física:

${\displaystyle G=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}}$ .

Nessa expressão ${\displaystyle \mathbf {r} _{k}}$ e ${\displaystyle \mathbf {p} _{k}}$ são, respectivamente, o vetor posição e o vetor momento linear da k-ésima partícula de um sistema de partículas. O virial ${\displaystyle S}$ de um conjunto de ${\displaystyle N}$ partículas é definido de tal forma que

${\displaystyle S=-{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\left\langle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle }$ .

O símbolo ${\displaystyle \left\langle \,\right\rangle }$ representa a média temporal da grandeza por ele encerrada ao longo do intervalo de tempo adequado à situação, tipicamente o período de oscilação em movimentos periódicos.

A expressão "virial" deriva do latim, vis, viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius em 1870.

Uma das grandes utilidades do teorema do virial se deve ao fato de que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística. Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema da equipartição, a equação de Clapeyron para os gases ideais ou mesmo para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.

Dedução da expressão matemática para o virial

A derivada temporal de G pode ser escrita como

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=\sum _{k=1}^{N}{\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {p} _{k}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}}$

ou, de modo mais simples,

${\displaystyle {\frac {dG}{dt}}=2T+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}.}$

Aqui, ${\displaystyle m_{k}}$ representa a massa da ${\displaystyle k}$-ésima partícula, ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}={\frac {d\mathbf {p} _{k}}{dt}}}$ é a força líquida atuando sobre a partícula e ${\displaystyle T}$ é a energia cinética total do sistema.

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} _{k}}{dt}}.}$

A média desta derivada no intervalo de tempo ${\displaystyle \tau }$ é definida como:

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }{\frac {dG}{dt}}\,dt={\frac {1}{\tau }}\int _{0}^{\tau }dG={\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }},}$

Assim, tomando a média dos dois lados da expressão para a derivada de G com relação ao tempo, temos:

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=2\left\langle T\right\rangle _{\tau }+\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

Da expressão acima segue-se que, se ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$, então

${\displaystyle 2\left\langle T\right\rangle _{\tau }=-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,

${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$.

Uma razão frequentemente citada se aplica a sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas. Nesse caso, o virial ${\displaystyle G^{\mathrm {bound} }}$ está normalmente entre dois valores extremos, ${\displaystyle G_{\min }}$ e ${\displaystyle G_{\max }}$, e a média vai a zero para o limite de tempos muitos longos ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|\left\langle {\frac {dG^{\mathrm {bound} }}{dt}}\right\rangle _{\tau }\right|=\lim _{\tau \rightarrow \infty }\left|{\frac {G(\tau )-G(0)}{\tau }}\right|\leq \lim _{\tau \rightarrow \infty }{\frac {G_{\max }-G_{\min }}{\tau }}=0.}$

Mesmo se a média da derivada temporal ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }}$ é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.

Assim, quando a média da derivada temporal de G anula-se,

${\displaystyle \left\langle T\right\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle _{\tau }.}$

que é a expressão matemática para o Teorema do Virial.^[2]

Relação com a energia potencial

A força total ${\displaystyle \mathbf {F} _{k}}$ atuando sobre a partícula ${\displaystyle k}$ é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema, ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{k}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}}$

onde, ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}}$ é a força aplicada pela partícula ${\displaystyle j}$ na partícula ${\displaystyle k}$. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}.}$

Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e., ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=0}$, sempre que ${\displaystyle j=k}$), temos que

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}+\sum _{k=1}^{N}\sum _{j>k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right).}$

onde assumimos que a terceira lei de Newton pode ser aplicada, i.e., ${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\mathbf {F} _{kj}}$ (reações iguais e opostas).

É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial ${\displaystyle V}$ que é uma função somente da distância, ${\displaystyle r_{jk}}$, entre as partículas ${\displaystyle j}$ e ${\displaystyle k}$. Como força é o gradiente da energia potencial, temos, neste caso

${\displaystyle \mathbf {F} _{jk}=-\nabla _{\mathbf {r} _{k}}V=-{\frac {dV}{dr}}{\frac {\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}}{r_{jk}}},}$

a qual é igual e oposta a ${\displaystyle \mathbf {F} _{kj}=-\nabla _{\mathbf {r} _{j}}V}$, a força aplicada pela partícula ${\displaystyle k}$ sobre a partícula ${\displaystyle j}$, como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial é

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}\mathbf {F} _{jk}\cdot \left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}{\frac {\left(\mathbf {r} _{k}-\mathbf {r} _{j}\right)^{2}}{r_{jk}}}=-\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}.}$

Aplicação a forças que seguem uma lei da potência

É comum acontecer que a energia potencial ${\displaystyle V}$ é uma função do tipo lei de potência

${\displaystyle V(r_{jk})=\alpha r_{jk}^{n},}$

onde o coeficiente ${\displaystyle \alpha }$ e o expoente ${\displaystyle n}$ são constantes. Em tais casos, temos:

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}{\frac {dV}{dr}}r_{jk}=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}nV(r_{jk})=nU}$

onde ${\displaystyle U}$ é a energia potencial total do sistema

${\displaystyle U=\sum _{k=1}^{N}\sum _{j<k}V(r_{jk}).}$

Em tais casos, quando ${\displaystyle \left\langle {\frac {dG}{dt}}\right\rangle _{\tau }=0}$, a equação geral torna-se

${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\rangle _{\tau }={\frac {n}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.}$

Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual ${\displaystyle n=-1}$. Neste caso,

${\displaystyle \langle T\rangle _{\tau }=-{\frac {1}{2}}\langle U\rangle _{\tau }.}$

Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias, e também para sistemas eletrostáticos, para os quais ${\displaystyle n=-1}$, também.

A pesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a mecânica quântica.

Inclusão de campos eletromagnéticos

O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico.^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I+\int _{V}x_{k}{\frac {\partial G_{k}}{\partial t}}d^{3}r=2(T+U)+W^{E}+W^{M}-\int x_{k}(p_{ik}+T_{ik})dS_{i},}$

onde I é o momentum de inércia, G é o vetor de Poynting, T é a energia cinética do "fluido", U é a energia térmica (aleatória ou cinética) das partículas, W^E e W^M são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado. Finalmente, p_ik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local

${\displaystyle p_{ik}=\Sigma n^{\sigma }m^{\sigma }\langle v_{i}v_{k}\rangle ^{\sigma }-V_{i}V_{k}\Sigma m^{\sigma }n^{\sigma }}$,

e T_ik é o tensor de stress eletromagnético,

${\displaystyle T_{ik}=\left({\frac {\varepsilon _{0}E^{2}}{2}}+{\frac {B^{2}}{2\mu _{0}}}\right)-\left(\varepsilon _{0}E_{i}E_{k}+{\frac {B_{i}B_{k}}{\mu _{0}}}\right).}$

Um plasmoide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inércia é aproximadamente MR², e o lado esquerdo do teorema do virial é MR ²/τ². Os termos no lado direito somam até cerca de pR³, onde p é o maior entre a pressão de plasma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos

${\displaystyle \tau \,\sim R/c_{s},}$

onde c_s é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsito acústico (ou de Alfven).

Referências

Biblografia

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9