Métrica de Lévy–Prokhorov

Em matemática, a métrica de Lévy–Prokhorov, algumas vezes chamada apenas de métrica de Prokhorov, é uma métrica, isto é, uma definição de distância, sobre a coleção de medidas de probabilidade em um dado espaço métrico. Recebe este nome em homenagem ao matemático francês Paul Lévy e ao matemático soviético Yuri Prokhorov. Prokhorov apresentou a métrica em 1956 como uma generalização da métrica de Lévy anterior.[1]

Definição

Considere ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} um espaço métrico com sua sigma-álgebra de Borel B ( M ) {\displaystyle {\mathcal {B}}(M)} . Suponha que P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} denota a coleção de todas as medidas de probabilidade sobre o espaço mensurável ( M , B ( M ) ) {\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))} .

Para um subconjunto A M {\displaystyle A\subseteq M} , defina a vizinhança ε {\displaystyle \varepsilon } de A {\displaystyle A} por:

A ε := { p M | q A , d ( p , q ) < ε } = p A B ε ( p ) , {\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M|\exists q\in A,d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p),}

em que B ε ( p ) {\displaystyle B_{\varepsilon }(p)} é a bola aberta de raio ε {\displaystyle \varepsilon } centrada em p {\displaystyle p} . A métrica de Lévy–Prokhorov π : P ( M ) 2 [ 0 , + ) {\displaystyle \pi :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )} é definida ao configurar a distância entre duas medidas de probabilidade μ {\displaystyle \mu } e ν {\displaystyle \nu } como:[2]

π ( μ , ν ) := inf { ε > 0 | μ ( A ) ν ( A ε ) + ε   e   ν ( A ) μ ( A ε ) + ε   para todo  A B ( M ) } , {\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0|\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{e}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{para todo }}A\in {\mathcal {B}}(M)\right\},}

para medidas de probabilidade claramente π ( μ , ν ) 1 {\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leq 1} .

Alguns autores omitem uma das duas desigualdades ou escolher apenas A {\displaystyle A} aberto ou fechado. Uma desigualdade implica a outra e ( A ¯ ) ε = A ε {\displaystyle ({\bar {A}})^{\varepsilon }=A^{\varepsilon }} , mas restringir a conjuntos abertos pode mudar a métrica então definida (se M {\displaystyle M} não for um espaço polonês).

Propriedades

  • Se ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} for separável, a convergência de medidas na métrica de Lévy–Prokhorov é equivalente à convergência fraca de medidas. Assim, π {\displaystyle \pi } é uma metrização da topologia de convergência fraca em P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} .[3]
  • O espaço métrico ( P ( M ) , π ) {\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)} é separável se e somente se ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} for separável.
  • Se ( P ( M ) , π ) {\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)} for completo, então, ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} é completo. Se todas as medidas em P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(M)} tiverem suporte separável, então, a implicação recíproca se aplica: se ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} for completo, então, ( P ( M ) , π ) {\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)} é completo.
  • Se ( M , d ) {\displaystyle (M,d)} for separável e completo, um subconjunto K P ( M ) {\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)} é relativamente compacto se e somente se seu π {\displaystyle \pi } -fechamento for π {\displaystyle \pi } -compacto.

Referências

  1. «Lévy metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 3 de agosto de 2017 
  2. «Lévy-Prokhorov metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 3 de agosto de 2017 
  3. Billingsley, Patrick (25 de junho de 2013). Convergence of Probability Measures (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118625965 
  • v
  • d
  • e
Tempo discreto
Tempo contínuo
Ambos
Campos e outros
Modelos de série temporal
Modelos financeiros
  • Black–Derman–Toy
  • Black–Karasinski
  • Chen
  • Cox–Ingersoll–Ross (CIR)
  • Garman–Kohlhagen
  • Heath–Jarrow–Morton (HJM)
  • Heston
  • Ho–Lee
  • Hull–White
  • LIBOR market
  • Rendleman–Bartter
  • SABR volatility
  • Vašíček
  • Wilkie
Modelos atuariais
  • Bühlmann
  • Cramér–Lundberg
  • Sparre–Anderson
Modelos de filas
Propriedades
Teoremas limites
Desigualdades
Ferramentas
Disciplinas
  • Categoria:Processos estocásticos