Equações de Madelung

As equações de Madelung ou as equações da hidrodinâmica quântica são uma formulação alternativa de Erwin Madelung equivalente à equação de Schrödinger, escrita em termos de variáveis hidrodinâmicas, similar às equações de Navier-Stokes da dinâmica dos fluidos. A derivação das equações de Madelung[1] é semelhante à formulação de de Broglie-Bohm, que representa a equação de Schrödinger como uma equação quântica de Hamilton-Jacobi .

Equações

As equações de Madelung [2] são equações de Euler quânticas:[3]

∂ t ρ m + ∇ ⋅ ( ρ m u ) = 0 , {\displaystyle \partial _{t}\rho _{m}+\nabla \cdot (\rho _{m}\mathbf {u} )=0,}
d u d t = ∂ t u + u ⋅ ∇ u = − 1 m ∇ ( Q + V ) {\displaystyle {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=\partial _{t}\mathbf {u} +\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-{\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } (Q+V)}

onde u {\displaystyle \mathbf {u} } é a velocidade do fluxo ρ m = m ρ = m | ψ | 2 {\displaystyle \rho _{m}=m\rho =m|\psi |^{2}} é a densidade de massa, Q = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ρ ρ = − ℏ 2 2 m ∇ 2 ρ m ρ m {\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\sqrt {\rho _{m}}}}} é o potencial quântico de Bohm e V {\displaystyle V} é o potencial da equação de Schrödinger. A circulação do campo de velocidade de fluxo ao longo de qualquer trajetória fechada obedece à condição auxiliar Γ ≐ ∮ m u ⋅ d l = 2 π n ℏ , n ∈ Z {\displaystyle {\begin{matrix}\Gamma \doteq \oint {m\mathbf {u} \cdot d\mathbf {l} }=2\pi n\hbar ,&n\in \mathbb {Z} \\\end{matrix}}} .[4]

As equações de Madelung são derivadas escrevendo-se a função de onda na forma polar

ψ ( x , t ) = 1 m ρ m ( x , t ) e i ℏ S ( x , t ) {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\sqrt {{\frac {1}{m}}\rho _{m}(\mathbf {x} ,t)}}e^{{\frac {i}{\hbar }}S(\mathbf {x} ,t)}}

e substituindo esta forma na equação de Schrödinger

i ℏ ∂ ∂ t ψ ( x , t ) = [ − ℏ 2 2 m ∇ 2 + V ( x , t ) ] ψ ( x , t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x} ,t)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} ,t)\right]\psi (\mathbf {x} ,t)}

O fluxo de velocidade é definido por

u ( x , t ) = 1 m ∇ S {\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{m}}\mathbf {\nabla } S} ,

a partir do qual também descobrimos que 1 m ρ m u = j = ℏ 2 m i [ ψ ∗ ( ∇ ψ ) − ψ ( ∇ ψ ∗ ) ] {\displaystyle {\frac {1}{m}}\rho _{m}\mathbf {u} =\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}[\psi ^{*}(\nabla \psi )-\psi (\nabla \psi ^{*})]} , onde j {\displaystyle \mathbf {j} } é a corrente de probabilidade da mecânica quântica padrão.

A força quântica, que é o negativo do gradiente do potencial quântico, também pode ser escrita em termos do tensor quântico de pressão.

F Q = − ∇ Q = − m ρ m ∇ ⋅ p Q {\displaystyle \mathbf {F_{Q}} =-\mathbf {\nabla } Q=-{\frac {m}{\rho _{m}}}\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}}

onde

p Q = − ( ℏ / 2 m ) 2 ρ m ∇ ⊗ ∇ ln ⁡ ρ m {\displaystyle \mathbf {p} _{Q}=-(\hbar /2m)^{2}\rho _{m}\nabla \otimes \nabla \ln \rho _{m}}

A integral de energia armazenada no tensor de pressão quântica é proporcional à informação de Fisher, que é responsável pela qualidade das medições. Assim, de acordo com o limite de Cramér-Rao, o princípio da incerteza de Heisenberg é equivalente a uma desigualdade padrão para a eficiência (estatística) das medições. A definição termodinâmica do potencial químico quântico μ = Q + V = 1 ρ m H ^ ρ m {\displaystyle \mu =Q+V={\frac {1}{\sqrt {\rho _{m}}}}{\widehat {H}}{\sqrt {\rho _{m}}}} segue do equilíbrio da força hidrostática acima ∇ μ = ( m / ρ m ) ∇ ⋅ p Q + ∇ V {\displaystyle \nabla \mu =(m/\rho _{m})\nabla \cdot \mathbf {p} _{Q}+\nabla V} . De acordo com a termodinâmica, em equilíbrio, o potencial químico é constante em todos os lugares, o que corresponde diretamente à equação estacionária de Schrödinger. Portanto, os autovalores da equação de Schrödinger são energias livres, que diferem das energias internas do sistema. A energia interna das partículas é calculada via   ε = μ − tr ⁡ ( p Q ) ( m / ρ m ) = − ℏ 2 ( ∇ ln ⁡ ρ m ) 2 / 8 m + U {\displaystyle \ \varepsilon =\mu -\operatorname {tr} (\mathbf {p} _{Q})(m/\rho _{m})=-\hbar ^{2}(\nabla \ln \rho _{m})^{2}/8m+U} e está relacionado com a correção local de Carl Friedrich von Weizsäcker .[5] No caso de um oscilador harmônico quântico, por exemplo, pode-se facilmente mostrar que a energia do ponto zero é o valor do potencial químico do oscilador, enquanto a energia interna do oscilador é zero no estado fundamental,   ε = 0 {\displaystyle \ \varepsilon =0} . Assim, a energia do ponto zero representa a energia para colocar um oscilador estático no vácuo, o que mostra novamente que as flutuações do vácuo são a razão da mecânica quântica.

Ver também

Referências

  1. ↑ Felipe, Henrique (2019). Equações de Madelung como um Problema de Sturm-Liouville. São Paulo: [s.n.] ISBN 9781798791639. Consultado em 5 de março de 2019 
  2. ↑ «Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger». Naturwissenschaften. 14. Bibcode:1926NW.....14.1004M. doi:10.1007/BF01504657 
  3. ↑ «Quantentheorie in hydrodynamischer Form». Z. Phys. 40. Bibcode:1927ZPhy...40..322M. doi:10.1007/BF01400372 
  4. ↑ I. Bialynicki-Birula; M. Cieplak; J. Kaminski (1992), Theory of Quanta, ISBN 0195071573, Oxford University Press 
  5. ↑ «Dissipative Time Dependent Density Functional Theory». International Journal of Theoretical Physics. 48. Bibcode:2009IJTP...48.2660T. arXiv:0903.3644Acessível livremente. doi:10.1007/s10773-009-0054-6 

Leitura adicional

  • «On the hydrodynamical model of the quantum mechanics». Il Nuovo Cimento. 12. Bibcode:1954NCim...12..103S. doi:10.1007/BF02820368