Constante de Catalan

A constante de Catalan, normalmente expressa pela letra G {\displaystyle G} , é o valor numérico da série

∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) 2 = 1 − 1 3 2 + 1 5 2 − 1 7 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots } ,

ou seja, o valor da função beta de Dirichlet β ( 2 ) {\displaystyle \beta (2)} . A constante é assim denominada em homenagem a Eugène Charles Catalan (1814–1894). Sua irracionalidade é aceita, porém ainda não demonstrada.

História

Catalan denominou esta constante como G em seu trabalho de 1883, acompanhado este por diversas representações integrais e em série. A denominação G provem possivelmente do engenheiro Jacques Bresse.

Valor

Um valor aproximado é

G = 0 , 91596559417721901505... {\displaystyle G=0,91596559417721901505...}

Atualmente (16 de abril de 2009) são conhecidos 31.026.000.000 dígitos[1].

Outras representações

Dentre as inúmeras representações, algumas são apresentadas a seguir.

Integral

G = − ∫ 0 1 ln ⁡ t 1 + t 2 d t {\displaystyle G=-\int \limits _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2}}}\,{\rm {d}}t}
G = ∫ 0 1 arctan ⁡ t t d t {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}{\frac {\arctan t}{t}}\,{\rm {d}}t}
G = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 1 + x 2 y 2 d x d y {\displaystyle G=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y}

Série

De acordo com Ramanujan:

G = π 8 ln ⁡ ( 2 + 3 ) + 3 8 ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) 2 ( 2 n n ) {\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\ln(2+{\sqrt {3}})+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}{\binom {2n}{n}}}}} .

Também converge rapidamente a soma:

G = 1 64 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 ⋅ 2 8 n ⋅ ( 40 n 2 − 24 n + 3 ) ⋅ ( 2 n ) ! 3 ⋅ n ! 2 n 3 ⋅ ( 2 n − 1 ) ⋅ ( 4 n ) ! 2 {\displaystyle G={\tfrac {1}{64}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}\cdot 2^{8n}\cdot (40n^{2}-24n+3)\cdot (2n)!^{3}\cdot n!^{2}}{n^{3}\cdot (2n-1)\cdot (4n)!^{2}}}}

Séries tipo BBP

Tentou-se encontrar séries do tipo BBP. Uma série de 9 termos foi apresentada por Victor Adamchik em 2007:

G = 3 64 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 64 n ( 32 ( 12 n + 1 ) 2 − 32 ( 12 n + 2 ) 2 − 32 ( 12 n + 3 ) 2 − 8 ( 12 n + 5 ) 2 − 16 ( 12 n + 6 ) 2 − 4 ( 12 n + 7 ) 2 − 4 ( 12 n + 9 ) 2 − 2 ( 12 n + 10 ) 2 + 1 ( 12 n + 11 ) 2 ) {\displaystyle G={\tfrac {3}{64}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{64^{n}}}\left({\tfrac {32}{(12n+1)^{2}}}-{\tfrac {32}{(12n+2)^{2}}}-{\tfrac {32}{(12n+3)^{2}}}-{\tfrac {8}{(12n+5)^{2}}}-{\tfrac {16}{(12n+6)^{2}}}-{\tfrac {4}{(12n+7)^{2}}}-{\tfrac {4}{(12n+9)^{2}}}-{\tfrac {2}{(12n+10)^{2}}}+{\tfrac {1}{(12n+11)^{2}}}\right)}

Referências

  1. ↑ http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html

Bibliografia

  • Lasar Aronowitsch Ljusternik: Mathematical Analysis. Functions, Limits, Series, Continued Fractions, 1965, S.313−314.
  • Weisstein, Eric W. «Catalan's Constant» (em inglês). MathWorld