Paraboloida hiperboliczna

Paraboloida hiperboliczna – nieograniczona powierzchnia drugiego stopnia posiadająca jedną oś symetrii i dwie płaszczyzny symetrii, jedna z dwóch odmian paraboloidy obok paraboloidy eliptycznej.

Powierzchnia ta powstaje w wyniku przesunięcia paraboli wzdłuż innej paraboli, przy czym obydwie parabole muszą spełniać następujące warunki^[1]:

• muszą się znajdować w płaszczyznach prostopadłych do siebie,
• ich osie symetrii muszą być równoległe,
• ich ramiona muszą być skierowane w przeciwne strony.

Równanie

Paraboloida hiperboliczna, niezależnie od jej ustawienia w przestrzeni i doboru układu współrzędnych, spełnia równanie powierzchni drugiego stopnia^[2]:

${\displaystyle a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,}$

przy czym w celu odróżnienia jej od innych takich powierzchni należy zastosować warunki:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|=0}$

oraz

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}}\right|>0.}$

Odpowiednio dobierając układ współrzędnych, można jej równanie zapisać w postaci^[1]:

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=z}$

lub

${\displaystyle z=xy.}$

Zobacz też

• paraboloida eliptyczna

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hyperbolic Paraboloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).