Model Stackelberga

Model Stackelberga – popularny model konkurencji niedoskonałej. Po raz pierwszy został zaproponowany w 1934 roku przez niemieckiego ekonomistę Heinricha Freiherra von Stackelberga. Zgodnie z założeniami modelu każde z przedsiębiorstw w duopolu wybiera poziom swojej produkcji dążąc do maksymalizacji zysku. Zakłada się również, że produkowane przez wszystkie firmy dobra są identyczne i mają jednakową cenę. Od modelu Cournota różni się tym, że o wielkości produkcji firmy decydują nie jednocześnie, lecz jedna z firm podejmuje tę decyzję jako pierwsza. Wielkość ta jest następnie obserwowana przez drugiego konkurenta, który wówczas podejmuje swoją decyzję dotyczącą wielkości produkcji.

Formalny model

Klasyczny model duopolu Stackelberga z liniowym popytem i stałymi kosztami krańcowymi można przedstawić w następujący sposób. Popyt można zapisać w postaci ${\displaystyle p=A-BQ}$ a koszty przedsiębiorstw jako ${\displaystyle C(q)=cq.}$ Bez straty ogólności można założyć, że c=0, bowiem w przypadku gdy c>0 wystarczy zmodyfikować parametryzację popytu definiując ${\displaystyle A':=A-c.}$

Równowagę Nasha można znaleźć wykorzystując algorytm indukcji wstecznej. Oznaczając poziom produkcji wybrany przez przedsiębiorstwo 1 na pierwszym etapie gry jako ${\displaystyle q_{1},}$ popyt ma postać ${\displaystyle p=A-Bq_{1}-Bq_{2}.}$ Gdy przedsiębiorstwo 2 na drugim etapie wybiera swój poziom produkcji ${\displaystyle q_{2},}$ traktuje ono wielkość ${\displaystyle q_{1}}$ jako znaną i stałą, a zatem zachowuje się jak monopolista.

Poziom produkcji maksymalizujący zysk przedsiębiorstwa 2 jest zatem w tej sytuacji dany wzorem: ${\displaystyle q_{2}={\frac {A-Bq_{1}}{2B}}.}$ Przy takim poziomie produkcji cena równowagi wynosi ${\displaystyle p={\frac {A-Bq_{1}}{2}}}$ i jak widać zależy od ${\displaystyle q_{1}.}$

Biorąc pod uwagę opisane powyżej zachowanie przedsiębiorstwa 2 w drugim etapie gry w pierwszym etapie przedsiębiorstwo 1 maksymalizuje swój zysk ${\displaystyle p(q_{1})q_{1}}$ wybierając optymalny poziom ${\displaystyle q_{1}.}$ Formalnie funkcję zysku przedsiębiorstwa 1 można zapisać jako:

${\displaystyle p(q_{1})q_{1}={\frac {A-Bq_{1}}{2}}q_{1}.}$

Ponownie maksymalizacja tej funkcji to problem analogiczny do tego jaki rozwiązuje monopolista. Jego rozwiązanie jest dane wzorem ${\displaystyle q_{1}={\frac {A}{2B}},}$ a zatem ${\displaystyle p={\frac {A}{4}}.}$

Wynika stąd dalej, że w równowadze zyski przedsiębiorstw wynoszą odpowiednio ${\displaystyle \pi _{1}={\frac {A^{2}}{8B}}={\frac {\pi ^{M}}{2}}}$ oraz ${\displaystyle \pi _{2}={\frac {A^{2}}{32B}}={\frac {\pi ^{M}}{8}},}$ gdzie ${\displaystyle \pi ^{M}}$ to zysk monopolisty.

Z rozwiązania tego wynikają następujące fakty. Przedsiębiorstwo 1 produkuje taką samą ilość produktu jaką wybrałby monopolista. W drugim etapie gry, przedsiębiorstwo 2 produkuje połowę tej wielkości. W równowadze cena równa jest połowie ceny ustalonej przez monopolistę, a zatem niższa niż cena w przypadku monopolu, ale jednocześnie wyższa niż w przypadku modelu Cournota. Wreszcie, zysk przedsiębiorstwa 1 jest równy połowie zysku monopolisty, zaś zysk przedsiębiorstwa 2 jest równy 1/8 zysku monopolisty. Zysk przedsiębiorstwa 1 jest wyższy niż w przypadku modelu Cournota, zaś zysk przedsiębiorstwa 2 – niższy.

Powyższy model duopolu można uogólnić do oligopolu.

Literatura dodatkowa

• Christoph Schenzler, John J. Siegfried, William O. Thweatt. The History of the Static Equilibrium Dominant Firm Price Leadership Model. „Eastern Economic Journal”. 18 (2), s. 171–186, 1992. 

Linki zewnętrzne

• The Stackelberg Model. atlas.openeconomics.net. [zarchiwizowane z tego adresu (2009-01-29)]. Atlas of Economic Models (ang.).