Liczba plastikowa

Liczba plastikowa – liczba niewymierna będąca jedynym rzeczywistym rozwiązaniem równania x 3 − x − 1 = 0 {\displaystyle x^{3}-x-1=0} [1][2][3]. Jej własności badali na początku XX w. Francuz Gérard Cordonnier oraz holenderski architekt i mnich Hans van der Laan[2][4][5].

Własności

Długości boków trójkątów równobocznych równe są kolejnym wyrazom ciągu Padovana

Jest równa[3]:

P = 108 + 12 69 3 + 108 − 12 69 3 6 = 1,324 7 … , {\displaystyle P={\frac {{\sqrt[{3}]{108+12{\sqrt {69}}}}+{\sqrt[{3}]{108-12{\sqrt {69}}}}}{6}}=1{,}3247\dots ,}

co odpowiada ułamkowi łańcuchowemu[6]:

P = 1 + 1 3 + 1 12 + 1 1 + ⋱ {\displaystyle P=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}

oraz zagnieżdżonemu pierwiastkowi[2]:

P = 1 + 1 + 1 + … 3 3 3 . {\displaystyle P={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\dots }}}}}}.}

Liczba plastikowa jest granicą ciągu ilorazów kolejnych wyrazów ciągu Padovana[1], definiowanego następująco:

{ P 0 = P 1 = P 2 = 1 P n = P n − 2 + P n − 3 , {\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}P_{0}=P_{1}=P_{2}=1\\P_{n}=P_{n-2}+P_{n-3}\end{array}}\right.,}

mianowicie

lim n → ∞ P n P n − 1 = 1,324 7 … , {\displaystyle \lim \limits _{n\rightarrow \infty }{\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}=1{,}3247\dots ,}

natomiast początkowe wyrazy ciągu Padovana to: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12...[7].

Przypisy

  1. ↑ a b Liczby z kruszcu. „Magazyn Miłośników Matematyki”. nr 21, s. 25, październik 2007. Wrocław: Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Wrocławskiego. ISSN 1643-9481. 
  2. ↑ a b c Tito Piezas III, Floor van Lamoen: Plastic Constant. mathworld.wolfram.com. [dostęp 2021-08-29]. (ang.).
  3. ↑ a b grudzień 2016. matematyka.wroc.pl. [dostęp 2021-08-29]. (pol.).
  4. ↑ Jan Aarts, Robbert Fokkink, Godfried Kruijtzer: Morphic numbers. nieuwarchief.nl, marzec 2001. [dostęp 2021-08-29]. (ang.).
  5. ↑ Richard Padovan - Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number. nexusjournal.com. [dostęp 2021-08-29]. (ang.).
  6. ↑ (ciąg publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać A072117 w OEIS)
  7. ↑ Eric W. Weisstein: Padovan Sequence. mathworld.wolfram.com. [dostęp 2021-08-29]. (ang.).
  • p
  • d
  • e
Stałe matematyczne
Najważniejsze stałe
  • π – stosunek obwodu do średnicy koła
  • e – podstawa logarytmu naturalnego, liczba Eulera
  • φ – złoty podział odcinka
  • γ – stała Eulera-Mascheroniego
  • κ – stała Chinczyna
  • A – stała Apéry’ego
  • δ – pierwsza stała Feigenbauma
  • α – druga stała Feigenbauma
  • K – stała Catalana
Inne stałe
  • Λ – stała de Bruijna-Newmana
  • EB – stała Erdősa-Borweina
  • M – stała Meissela-Mertensa
  • B2, B4 – stałe Bruna
  • B´L – stała Legendre’a
  • K – stała Sierpińskiego
  • C2 – stała liczb pierwszych bliźniaczych
Tematy powiązane