Iloczyn nieskończony – iloczyn nieskończenie wielu liczb rzeczywistych lub zespolonych[1]; pojęcie analogiczne do szeregu.
Ustalenia wstępne
Jeżeli
jest ciągiem liczb, to liczby
nazywamy iloczynami częściowymi tego ciągu. Symbol
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }p_{n}=p_{1}p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899d7bacda186fb6ae50518acf8a452528ff5c08)
nazywamy iloczynem nieskończonym ciągu
natomiast granicę (oznaczaną również tym samym symbolem) ciągu iloczynów częściowych
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P_{n}=\prod _{n=1}^{\infty }p_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d99ce8276e0d6474d317fa9b5a114ae44d43d195)
(skończoną bądź nie) nazywamy wartością tego iloczynu.
Jeżeli iloczyn nieskończony ma granicę skończoną i różną od zera, to nazywamy go zbieżnym – w przeciwnym wypadku rozbieżnym. Jak łatwo zauważyć, wystarczy by jeden z czynników iloczynu był zerowy, aby wartość iloczynu była zerem, tj. iloczyn nieskończony był rozbieżny.
Związek z szeregami
Podobnie jak w przypadku szeregów, odrzucenie skończonej liczby wyrazów w ciągu
nie wpływa na zbieżność iloczynu nieskończonego tego ciągu (o ile wśród odrzucanych wyrazów nie ma liczby 0). Można podać także analogiczny warunek konieczny zbieżności: Jeżeli iloczyn nieskończony ciągu
jest zbieżny, to
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }p_{n}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41826acd0dee702d935d82c33ac7f9b4ac68529c)
Zbieżność szeregu a zbieżność iloczynu nieskończonego
Iloczyn nieskończony ciągu
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\ln p_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/882e334080e8191d3a3c1821b7328dde8fafea2d)
Jeżeli warunek ten jest spełniony i
jest sumą szeregu, to wartość iloczynu nieskończonego wynosi
Można podać też inne kryteria zbieżności:
- Jeżeli dla dostatecznie dużych
wyrazy ciągu liczbowego
są stałego znaku, to iloczyn nieskończony
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093324aa67e326b9c278246cef10a203e9c5f9ce)
- Jeżeli zbieżne są szeregi:
i
to zbieżny jest iloczyn ![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e7eff0c66b753bb3b0d1308d8c2562b6ccba927)
Iloczyn nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest iloczyn
Warunek Cauchy’ego dla iloczynów: Iloczyn
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
Wniosek: Iloczyn
jest bezwzględnie zbieżny
Szereg
jest bezwzględnie zbieżny.
Rozwinięcia funkcji w iloczyny nieskończone
– szczególny przypadek – iloczyn Wallisa:
![{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \ldots =\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b274e1a9d9b03789d20062c1d0c75d9c46685287)
![{\displaystyle \cos z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f177d3e695391f225d24de18906c5f9b4497189e)
![{\displaystyle \sinh z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee36bbc4bb684c8ecb4a8a494573c497638113c6)
![{\displaystyle \cosh z=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f288c470b9f144b1715a1a922556472ca738a0a3)
– funkcja ζ Riemanna,
oznacza ciąg liczb pierwszych
– iloczyn Vièta
Przypisy
- ↑ iloczyn nieskończony, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-05-31] .
Bibliografia
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Infinite Product, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-05-31].
Infinite product (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].
Ciągi liczbowe
pojęcia definiujące | ciągi ogólne | - funkcja
- dziedzina
- liczby naturalne
- podzbiór
|
---|
ciągi liczbowe | |
---|
|
---|
typy ciągów | |
---|
przykłady ciągów liczb naturalnych | |
---|
inne przykłady ciągów liczb | |
---|
twierdzenia | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|
- Universalis: series-et-produits-infinis
- БРЭ: 1861875