Średnia quasi-arytmetyczna

Średnia quasi-arytmetyczna lub f-średnia – uogólnienie bardziej znanych średnich jak średnia arytmetyczna lub średnia potęgowa.

Definicja

Jeżeli f {\displaystyle f} jest funkcją ciągłą, silnie monotoniczną przekształcającą odcinek I {\displaystyle I} w zbiór liczb rzeczywistych to definiujemy f-średnią dwóch liczb

x 1 , x 2 ∈ I {\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}

jako

M f ( x 1 , x 2 ) = f − 1 ( f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 ) . {\displaystyle M_{f}(x_{1},x_{2})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}\right).}

Podobnie dla n {\displaystyle n} liczb

x 1 , … , x n ∈ I {\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}

określamy f-średnią jako

M f ( x 1 , … , x n ) = f − 1 ( f ( x 1 ) + … + f ( x n ) n ) . {\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\ldots +f(x_{n})}{n}}\right).}

Przykłady

  • Jeśli f = i d , {\displaystyle f=id,} to średnia quasi-arytmetyczna jest średnią arytmetyczną.
  • Jeśli f ( x ) = x p {\displaystyle f(x)=x^{p}} ( p ≠ 0 ) , {\displaystyle (p\neq 0),} to średnia quasi-arytmetyczna jest średnią potęgową p {\displaystyle p} -tego rzędu.
  • Jeśli f ( x ) = log ⁡ x , {\displaystyle f(x)=\log x,} to jest to średnia geometryczna.

Bibliografia

  • Peter Bullen: Handbook of Means and Their Inequalities. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2003. ISBN 83-204-2684-7.