Eksponentialfunksjon

Eksponentialfunksjonen er i matematikk en elementær funksjon på formen^[1]

${\displaystyle g(x)=ba^{x}}$

der ${\displaystyle a}$ og ${\displaystyle b}$ er konstanter. Funksjonsargumentet inngår som eksponent i en potens med ${\displaystyle a}$ som grunntall eller basis. Spesielt viktig er funksjonen med grunntall lik eulertallet ${\displaystyle e=2,71828\dots }$:

${\displaystyle f(x)=e^{x}=\exp(x)}$

For å presisere grunntallet ${\displaystyle e}$ kalles funksjonen ${\displaystyle f}$ noen ganger den naturlige eksponentialfunksjonen.^[2][3] Denne funksjonen kan defineres på en rekke alternative måter, for eksempel som en uendelig rekke. Funksjonen er generelt definert for komplekse grunntall og komplekse argument, men er i mange fremstillinger og anvendelser begrenset til å være definert bare for reelle tall. Den reelle funksjonen er invers funksjon til den naturlige logaritmefunksjonen, og dette kan brukes som alternativ definisjon. I kompleks analyse er eksponentialfunksjonen nært knyttet til trigonomertriske funksjoner. Det er også mulig å definere lignende funksjoner for andre typer argument, som kvadratiske matriser og operatorer.

Nær sammenheng mellom den generelle formen og funksjonen med grunntall ${\displaystyle e}$ gjør at det ofte er tilstrekkelig å studere eller bruke den naturlige eksponentialfunksjonen. For relle funksjoner er sammenhengen

${\displaystyle g(x)=ba^{x}=be^{x\ln a}=bf(x\ln a)}$

der ${\displaystyle \ln a}$ er den naturlige logaritmen til ${\displaystyle a}$. I kompleks analyse er ${\displaystyle g(x)}$ generelt flertydig, mens ${\displaystyle f(x)}$ er entydig.

Eksponentialfunksjonen har en rekke egenskaper som gjør den til en svært viktig funksjon i matematikk, naturvitenskap og teknologi. En sentral egenskap i mange anvendelser er at funksjonen ${\displaystyle f(x)}$ er lik sin egen derivert ${\displaystyle f(x)=f'(x)}$. Mer generelt vil funksjonen ${\displaystyle \exp(kx)}$ være proporsjonal med sin egen derivert, og denne egenskapen omtales som «loven om naturlig vekst» eller «loven om eksponentiell vekst».

Mange viktige egenskaper til eksponentialfunksjonen ble kartlagt av Leonhard Euler på 1700-tallet.

Definisjon av den reelle funksjonen exp(x)

Både for reelle og komplekse argument eksisterer det flere alternative definisjoner av eksponentialfunksjonen med grunntall ${\displaystyle e}$. I mange sammenhenger begrenses funksjonen til kun å være definert for reelle argument, og det følgende avsnittet gir en oversikt over alternative definisjoner for den reelle funksjonen. En definisjon av den reelle funksjonen er ikke generelt overførbar eller gyldig for komplekse argument.

Når en definisjon er valgt, vil alternative definisjoner kunne utledes som egenskaper til funksjonen. Hva som er definisjon og hva som er egenskaper vil derfor kunne variere i ulike framstillinger. Valg av definisjon kan reflektere både en pedagogisk vinkling og hvilke egenskaper en ønsker å fokusere på. Det er en tett forbindelse mellom eksponentialfunksjonen, logaritmefunksjonen og trigonometriske funksjoner, og valg av definisjon for alle disse vil ofte avhenge av rekkefølgen de presenteres i. Bevis for ekvivalens mellom definisjonene er teknisk omstendelig.

Definisjon som en uendelig rekke

Funksjon ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ er ofte definert som en uendelig rekke:^[4]

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{x^{k} \over k!}=1+{x \over 1}+{x^{2} \over 1\cdot 2}+{x^{3} \over 1\cdot 2\cdot 3}+{x^{4} \over 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\cdots \qquad x\in R}$

Rekken konvergerer absolutt, som kan vises med forholdskriteriet. Den uendelige rekken omtales som en eksponentialrekke.^[1] Rekken er også taylorrekken til eksponentialfunksjonen.

Definisjon som en grenseverdi

For reelle argument kan ${\displaystyle f}$ defineres som en grenseverdi:^[5]

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{nx}=\lim _{m\to \infty }\left(1+{x \over m}\right)^{m}}$

Flere ulike former for grenseverdien er i bruk, for eksempel^[6]

${\displaystyle e^{x}=\lim _{m\to \infty }{\frac {1}{\left(1-{x \over m}\right)^{m}}}}$

Definisjon som en invers funksjon

Eksponentialfunksjonen kan for reelle argument defineres som den inverse funksjonen til den naturlige logaritmefunksjonen, forutsatt at denne er definert uavhengig av eksponentialfunksjonen.^[7] En slik uavhengig definisjon er gitt som et integral:

${\displaystyle \ln y=\int _{1}^{y}{1 \over t}dt}$

Den reelle eksponentialfunksjonen defineres som den inverse funksjonen av denne:

${\displaystyle \ln f(x)=\ln e^{x}=x}$

Definisjon som løsning av en differensialligning

Flere transendentale funksjoner i matematikk defineres som løsning av en differensialligning. Også eksponentialfunksjonen kan defineres som løsningen av en slik ligning:

${\displaystyle {df \over dx}=f(x)}$

Definisjon ved hjelp av potenser

Eksponentialfunksjonen for et vilkårlig reelt grunntall kan innføres ved hjelp av potensuttrykk.^[8][9] Det er ikke vanlig å definere funksjonen formelt på denne måten, men framgangsmåten kan brukes til å motivere sammenhengen med potenser. Funksjonen defineres trinnvis fra for ulike typer reelle tall.

La ${\displaystyle a}$ være et vilkårlig positivt reelt tall større enn 1. Når argumentet er et positivt naturlig tall ${\displaystyle x=n\in N}$ definerer en

${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a} _{n\ faktorer}}$.

I tillegg definerer en ${\displaystyle a^{0}=1}$.

For et rasjonalt tall på formen ${\displaystyle x=1/m}$ definerer en ${\displaystyle y=e^{x}}$ som det positive tallet ${\displaystyle y}$ som er slik at ${\displaystyle y^{m}=x}$. For et vilkårlig rasjonalt tall ${\displaystyle x=n/m}$ bruker en deretter definisjonen

${\displaystyle a^{\frac {n}{m}}=(a^{n})^{1/m}.}$

Eksponentialfunksjonen er nå definert for alle rasjonale tall, og en kan vise at funksjonen oppfyller regnereglene for potenser:

${\displaystyle a^{p+q}=a^{p}a^{q}\qquad \qquad (a^{p})^{q}=a^{pq}\qquad \qquad \forall p,q\in Q}$

Funksjonen er også strengt voksende for rasjonale argument. For et vilkårlig reelt tall ${\displaystyle x}$ kan en fylle ut definisjonen ved verdier «mellom» rasjonale argument, som

${\displaystyle a^{x}=\sup\{\ a^{p}\ |\ p\in Q,\quad p\leq x\}}$

Her er ${\displaystyle \sup }$ en forkortelse for supremum. For et (positivt) grunntall mindre enn 1 definerer en

${\displaystyle a^{x}={1 \over (1/a)^{x}}}$

For et negativt argument bruker en

${\displaystyle a^{x}={1 \over a^{-x}}}$

Det kan da vises at funksjonen oppfyller regnereglene for potensfunksjonene for et vilkårlig argument.

Definisjon av den komplekse funksjonen exp(z)

Definisjon som uendelig rekke

Rekkedefinisjonen brukt for reelle tall gjelder også for komplekse argument, og rekken konvergerer absolutt for alle komplekse argument:^[4]

${\displaystyle e^{z}=\sum _{k=0}^{\infty }{z^{k} \over k!}\qquad z\in C}$

Definisjon som en grenseverdi

Også bruk av en grenseverdi gjelder som definisjon for komplekse argument:^{[trenger referanse]}

${\displaystyle e^{z}=\lim _{m\to \infty }\left(1+{z \over m}\right)^{m}}$

Definisjon som løsning av en differensialligning

Som for den reelle funksjonen kan den komplekse eksponentialfunksjonen defineres som løsningen av en differensialligning:^[10]

${\displaystyle {df \over dz}=f(z)}$

Den eneste løsningen som er analytisk overalt er ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$.

Definisjon basert på reelle funksjoner

Gitt at eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner er definerte for reelle argument, så kan eksponentialfunksjonen for komplekse argument defineres som:^[10][11]

${\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}$

Definisjonen reduserer seg til den relle definisjonen når ${\displaystyle y=0}$. Denne utvidingen til komplekse argument er den eneste utvidingen som er analytisk i hele det komplekse planet og som oppfyller differensialligningen ${\displaystyle f'(z)=f(z)}$.

Når ${\displaystyle z=1/n}$ skal utvidingen leses som den positive n-te roten av ${\displaystyle e}$. Dette er et unntak for en generell konvensjon om å lese komplekse røtter som flertydige.

Definisjon av funksjonen for et vilkårlig grunntall

For et vilkårlig grunntall ${\displaystyle a}$ vil en vanligvis basere definisjonen på en definisjon av funksjonen med grunntall e:

${\displaystyle g(z)=a^{z}=\exp(z\log _{e}a)}$

Sammenhengen forutsetter at logaritmefunksjonen er definert. For et reelt grunntall ${\displaystyle a}$ er ${\displaystyle \log _{e}a=\ln a}$ den naturlige logaritmen til ${\displaystyle a}$. I kompleks analyse er logaritmefunksjonen flertydig, og dette gjør at også funksjonen ${\displaystyle g}$ er flertydig for et vilkårlig grunntall, selv om grunntallet er reelt. Ved å begrense logaritmefunksjonen til prinsipalgreinen blir funksjonen ${\displaystyle g}$ entydig, tilsvarende begrenset til prinsipalgreinen.^[12]

Egenskaper

Grunnleggende egenskaper

Den reelle eksponentialfunksjonen er kontinuerlig for alle reelle tall og er alltid positiv. Funksjonen er strengt voksende for grunntall ${\displaystyle a>1}$, strengt minkende når ${\displaystyle a<1}$. Når ${\displaystyle a=1}$ er funksjonen konstant. Funksjonen er strengt konveks for alle ${\displaystyle a}$ ulik 1.

For komplekse argument er funksjonen analytisk i hele det komplekse planet, det vil si en hel funksjon. Funksjonen er transendental, i og med at den ikke kan skrives som løsningen av en polynomligning. Rekkevidden til den komplekse funksjonen er hele det komplekse planet, bortsett fra origo. Funksjonen er periodisk, med en rent imaginær periode ${\displaystyle 2\pi i}$:

${\displaystyle f(z+2n\pi i)=f(z)}$

Funksjonen er imidlertid bijektiv dersom argumentet begrenses til stripen ${\displaystyle -\pi <{\rm {Im}}(z)\leq \pi }$, der ${\displaystyle {\rm {Im}}(z)}$ er imaginærverdien til ${\displaystyle z}$.

Modulus til den komplekse funksjonen er

${\displaystyle |e^{z}|=|e^{x+iy}|=e^{x}}$

Potensegenskaper

Både for den reelle og den komplekse funksjonen ${\displaystyle f(x)=exp(x)}$ gjelder de følgende egenskapene:

${\displaystyle {\begin{array}{rclcrcl}f(x)f(y)&=&f(x+y)&\qquad &e^{x}e^{y}&=&e^{x+y}\\[8pt]{\lbrace f(x)\rbrace }^{y}&=&f(xy)&\qquad &{(e^{x})}^{y}&=&e^{xy}\\[8pt]f(-x)&=&{\frac {1}{f(x)}}&\qquad &e^{-x}&=&{1 \over {e^{x}}}\end{array}}}$

Bevis for disse egenskapene avhenger av valg av definisjon for funksjonen ${\displaystyle f}$ og om beviset gjennomføres for den reelle eller den komplekse funksjonen. Egenskapene er sentrale når en skal vise ekvivalens mellom ulike alternative definisjoner.

Egenskapene gjelder også for et generelt reelt grunntall, det vil si for funksjonen ${\displaystyle g(x)=a^{x}}$. På grunn av flertydigheten til den komplekse funksjonen med et generelt grunntall, gjelder egenskapene kun dersom en begrenser seg til en spesiell grein av den komplekse funksjonen.

Funksjonsverdier

Kombinert gir potensegenskapene funksjonsverdien ${\displaystyle e^{0}=1}$, en verdi som også kan utledes direkte fra de ulike definisjonene. En annen funksjonsverdi for den komplekse funksjonen er gitt ved

${\displaystyle f(-\pi i)=e^{-\pi i}=-1}$

Dette er Eulers likhet, ofte skrevet på formen^[13]

${\displaystyle e^{-\pi i}+1=0}$

Tabellen under gir noen funksjonsverdier for eksponentialfunksjonen med grunntall ${\displaystyle e}$.

z	exp(z)
-2	0,13533528...
-1	0,36787944...
0	1
1	2,71828183...
2	7,38905610...
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi i}$	${\displaystyle i}$
${\displaystyle \pi i}$	-1
${\displaystyle {\frac {3}{2}}\pi i}$	${\displaystyle -i}$

Rekke-egenskaper

Eksponentialrekken konvergerer absolutt, og dette medfører at en kan bytte rekkefølge på leddene i rekken, uten at verdien til rekken endres.^[4] En kan også summere to eksponentialrekker og danne produktet av to slike rekker. Rekken kan deriveres ledd for ledd. Disse egenskapene er viktige for å vise ekvivalens mellom en rekkedefinisjon og alternative definisjoner av eksponentialfunksjonen.

Grenseverdier

For den reelle funksjonen er grenseverdier gitt ved

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lim _{x\rightarrow \infty }a^{x}=\infty &\qquad \lim _{x\rightarrow -\infty }a^{x}=0\qquad &a>1\\[8pt]\lim _{x\rightarrow \infty }a^{x}=0&\qquad \lim _{x\rightarrow -\infty }a^{x}=\infty \qquad &a>1\end{alignedat}}}$

${\displaystyle x}$-aksen er altså en asymptote for funksjonen, både for ${\displaystyle a}$ større og mindre enn 1.

Når argumentet går mot uendelig vil eksponentialfunksjonen gå raskere mot uendelig enn hvilken som helst potensfunksjon, uttrykt ved den følgende grenseverdien:^[14]

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }x^{n}e^{-x}=0\qquad \forall n}$

Derviasjons- og integrasjonsegenskaper

Funksjonen ${\displaystyle f}$ er lik sin egen derivert:

${\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}$

For et generelt grunntall ${\displaystyle a}$ følger det fra kjerneregelen at

${\displaystyle {d \over dx}a^{x}=a^{x}\ln a}$

For det ubestemte integralet medfører det tilsvarende at

${\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C}$

der ${\displaystyle C}$ er en vilkårlig konstant.

Relasjon til andre funksjoner

Eksponentialfunksjonen er nært knyttet til både logaritmefunksjonen og trigonometriske funksjoner. Eksponentialfunksjonen inngår også i definisjonen av mange andre funksjoner.

Logaritmefunksjonen

Den reelle eksponentialfunksjonen og den naturlige logaritmefunksjonen er inverse funksjoner.

${\displaystyle \ln e^{x}=x\qquad x\in R}$

Denne sammenhengen kan brukes til å definere én av de to funksjonene.

For et generelt reelt grunntall ${\displaystyle a}$ og reelle argument er den inverse funksjonen logaritmen med grunntall ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle \log _{a}a^{x}=x\qquad x\in R}$

I kompleks analyse er eksponentialfunksjonen entydig og logaritmefunksjonen flertydig, og sammenhengen mellom de to funksjonene er gitt ved^[10]

${\displaystyle \log _{e}e^{z}=z+2n\pi i\qquad z\in C}$

Trigonometriske funksjoner

For et rent imaginært argument i eksponentialfunksjonen gjelder Eulers formel:^[15]

${\displaystyle e^{iy}=\cos y+i\sin y}$

De trigonometriske funksjonene har begge et reelt argument ${\displaystyle y}$. Om denne formelen blir tatt som en definisjon eller som en egenskap som må bevises, avhenger av valg av framstilling. Dersom rekkedefinisjoner brukes for både eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene, så må Eulers formel bevises ut fra at alle rekkene konvergerer absolutt. Formelen kan følge fra en definisjon av den komplekse funksjonen som en utviding fra relle funksjoner. Eulers formel er da et vanlig utgangspunkt for å definere også komplekse trigonometriske funksjoner:^[16][17]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\sin z={1 \over 2}(e^{iz}-e^{-iz})\\[8pt]\cos z={1 \over 2}(e^{iz}+e^{-iz})\end{alignedat}}}$

I kompleks analyse er det altså en tett forbindelse mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner. Dette gjør også at trigononetriske rekker kan skrives på en kompleks form:^[18]

${\displaystyle a_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)=\sum _{-n}^{n}c_{n}e^{inx}}$

De Moivres teorem er et uttrykk for potensegenskapen til den komplekse eksponentialfunksjonen:^[19]

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}e^{in\theta }&=(e^{i\theta })^{n}\\[6pt]\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}\end{alignedat}}}$

Hyperbolske funksjoner

De to grunnleggende hyperbolske funksjonene er avledet fra eksponentialfunksjonen:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\sinh z={\frac {1}{2}}(e^{z}-e^{-z})\\[8pt]\cosh z={\frac {1}{2}}(e^{z}+e^{-z})\end{alignedat}}}$

Tilsvarende kan en definere ${\displaystyle \tanh z}$ og ${\displaystyle \coth z}$. Hyperbolske funksjoner brukes ofte for å forenkle uttrykk der eksponentialfunksjonen opptrer med både positive og negative argument. Fra definisjonene er

${\displaystyle e^{z}=\sinh z+\cosh z}$

Gaussiske funksjoner

En gaussisk funksjon er en funksjon på formen^[20]

${\displaystyle g(x)=\exp(-x^{2})}$

Også funksjoner definerte med et mer generelt andregradspolynom som eksponent kalles gaussiske.

Integralfunksjoner

Flere spesielle funksjoner er definert ved hjelp av eksponentialfunksjonen som en del av en integrand.^[21]

Eksponentialintegralet:

${\displaystyle \operatorname {Ei} (z)=\int _{-\infty }^{z}{e^{t} \over t}dt\qquad |{\rm {Arg}}(-z)|<\pi }$

Sannsynlighetsintegralet:

${\displaystyle \Phi (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}dt}$

Feilfunksjonen:

${\displaystyle \operatorname {Erf} (z)=\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\Phi (z)}$

Gammafunksjonen:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt\qquad {\rm {Re}}(z)>0}$

Statistiske fordelinger

Eksponentialfordelingen er en statistisk fordeling gitt ved sannsynlighetstettheten^[1]

${\displaystyle p(x)=\lambda e^{-\lambda x}\qquad x\geq 0}$

Parameteren ${\displaystyle \lambda }$ er positiv. Fordelingen er et spesialtilfelle av gammafordelingen.

Normalfordelingen har en gaussisk funksjon som sannsynlighetstetthet:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)}$

Parameteren ${\displaystyle \mu }$ er middelverdien og ${\displaystyle \sigma }$ er variansen.

Numerisk beregning

For positive verdier av argumentet kan eksponentialfunksjonen ${\displaystyle \exp(x)}$ beregnes med stor nøyaktighet ved hjelp av eksponentialrekken.^[22] For negative verdier vil en numerisk beregning med rekkeuttrykket føre til et svært unøyaktig resultat, på grunn av ledd med skiftende fortegn og kanselering. I steden kan en for negative argument bruke invers-relasjonen:

${\displaystyle e^{-x}={\frac {1}{e^{x}}}}$

I motsetning til hva som gjelder for logaritmefunksjonen, er numerisk beregning av eksponentialfunksjonen et velkondisjonert problem.

De fleste programmeringsspråk for datamaskiner vil inkludere et matematikkbibliotek som kan levere funksjonsverdier for eksponentialfunksjonen. Standarden C99 for programmeringsspråket C beskriver for eksempel to funksjoner expf og expl for de to datatypene float og long double.

For argument nær null vil ekponentialfunksjonen være nær 1. I mange tilfeller kan det gi høyere nøyaktighet å arbeide med funksjonen ${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=e^{x}-1}$, og også funksjonen expml er inneholdt i C99-standarden.^[23] Det eksisterer flere implementeringer av denne funksjonen, den kan for eksempel tilnærmes ved hjelp av en taylorrekke. Plattformer som ikke har funksjonen spesielt implementert kan bruke den følgende identiteten for en nøyaktig tilnærming:^{[trenger referanse]}

${\displaystyle \operatorname {expm1} (x)=\exp x-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}}}$

For numeriske beregninger på en datamaskin eller en kalkulator vil eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen generelt ikke være inverse funksjoner, det vil si at generelt er ${\displaystyle \ln \exp(x)}$ ikke nøyaktig lik ${\displaystyle x}$. Det er heller ikke garantert at potensegenskapene alltid er eksakt oppfylt.^[22]

Generaliseringer

Rekkedefinisjonen kan brukes til å generalisere eksponentialfunksjonen til andre typer argument enn reelle og komplekse tall. Disse generaliseringene vil ikke automatisk arve alle de «pene» egenskapene som eksponentialfunksjonen har, og egenskaper må kartlegges og bevises for hvert særskilt definisjonsområde.

Eksponentialmatriser

For en kvadratisk matrise ${\displaystyle M}$ kan en definere den følgende matrisefunksjonen, omtalt som en eksponentialmatrise:^[24]

${\displaystyle f(M)=e^{M}=\sum _{k=0}^{\infty }{M^{k} \over k!}=I+{M \over 1!}+{M^{2} \over 2!}+{M^{3} \over 3!}+{M^{4} \over 4!}+\cdots }$

Her er ${\displaystyle I}$ identitetsmatrisen av samme orden som ${\displaystyle M}$. Rekken konvergerer for alle reelle og komplekse kvadratiske matriser.

Eksponentialmatrisen har noen av de samme egenskapene som eksponentialfunksjonen, men ikke generelt alle. Definisjonen medfører at

${\displaystyle f(0)=e^{0}=I}$

når ${\displaystyle 0}$ er nullmatrisen. Potensegenskapen ${\displaystyle e^{(A+B)}=e^{A}e^{B}}$ gjelder imidlertid bare dersom de to matrisene ${\displaystyle A}$ og ${\displaystyle B}$ kommuterer, det vil si dersom ${\displaystyle AB=BA}$. Funksjonen defineres derfor ofte for en begrenset klasse av kommuterende matriser. En slik klasse er ${\displaystyle \lbrace tM\rbrace }$, det ${\displaystyle t}$ er en variabel skalar og ${\displaystyle M}$ er en konstant matrise. Matrisen ${\displaystyle e^{M}}$ er alltid ikke-singulær, og det eksisterer alltid en invers ${\displaystyle e^{-M}}$.

For enkelte matriser kan rekkedefinisjonen brukes til å beregne eksponentialmatrisen: Dersom ${\displaystyle M=diag(\lambda _{i})}$ er en diagonalmatrise med diagonalelementer ${\displaystyle \lambda _{i}}$, så er

${\displaystyle f(M)=diag\left(e^{\lambda _{i}}\right)}$.

En nilpotent matrise er en matrise som har egenskapen ${\displaystyle M^{k}=0}$ for en gitt verdi av ${\displaystyle k}$, og for slike matriser vil rekken være endelig. En strengt triangulær matrise er alltid nilpotent.^[25] For en generell matrise er bruk av rekkedefinisjonen ikke praktisk, men det eksisterer flere metoder for beregning av funksjonen uten å måtte ty til rekkedefinisjonen, både for diagonaliserbare og ikke-diagonaliserbare matriser. Typisk uttrykker disse eksponentialmatrisen som et endelig polynom i matrisen ${\displaystyle M}$.^[24]

Eksponentialoperatorer

En kvadratisk matrise er en representasjon av en lineær transformasjon mellom endelig-dimensjonale rom ${\displaystyle T:V_{n}\rightarrow V_{n}}$. Også for klasser av lineære transformasjoner fra et uendelig-dimensjonalt vektorrom inn til seg selv kan en bruke rekkedefinisjonen til symbolsk å definere en ny transformasjon, på formen^[26]

${\displaystyle e^{T}=\sum _{k=0}^{\infty }{T^{k} \over k!}}$

Hvorvidt definisjonen gir mening utover en symbolsk notasjon må vises i hvert tilfelle for den valgte klassen av operatorer. Rekken vil konvergere dersom operatoren er begrenset, men definisjonen kan også gi mening for ikke-begrensede operatorer. Som for matriser vil ikke potensegenskapene alltid være oppfylt.

Anvendelser

Eksponentialfunksjonen har svært mange praktiske og teoretiske anvendelser i matematikk, naturvitenskap og teknologi.^[27]

Naturlig vekst

I mange fenomen i naturen er endringen i en mengde med tid proporsjonal med mengden. For eksempel kan en bakteriemengde vokse på denne måten. Dersom mengden er ${\displaystyle m}$, og tiden er variabelen ${\displaystyle t}$, så kan dette matematisk uttrykkes som differensialligningen

${\displaystyle {\frac {dm}{dt}}=km}$

Proporsjonalitetskonstanten ${\displaystyle k}$ er vekstfaktoren. Løsningen av differensialligningen er

${\displaystyle m=m_{0}e^{kt}}$,

der ${\displaystyle m_{0}}$ er mengden ved tiden ${\displaystyle t=0}$.

Når endringen av en mengde over tid er proporsjonal med mengden, vil mengden endre seg eksponentielt. Ofte uttrykker en dette som at endringen følger loven om naturlig vekst eller loven om eksponentiell vekst.

Rentes rente

Eksponentialfunksjonen er en øvre grense for verdiøkningen en kan få ved å sette et beløp i banken og la rente og rentes rente akkumulere.^[28] La bankinnskuddet ved tiden ${\displaystyle t=0}$ være ${\displaystyle V_{0}}$, og la renten være ${\displaystyle x}$, uttrykt som et desimaltall. Anta at bankinnskuddet står i ett år, men at banken regner ut og legger på rente ${\displaystyle n}$ ganger i året. Etter ett år er bankinnskuddet da vokst til beløpet

${\displaystyle V(x)=V_{0}\left(1+{x \over n}\right)^{n}}$

Økningen i beløpet skyldes både effekt av rente og rentes rente. I det hypotetiske tilfellet at banken skulle beregne renten uendelig mange ganger i året, det vil si kontinuerlig, så vil ${\displaystyle n}$ gå mot uendelig. Grenseverdien for beløpet er da ${\displaystyle V_{0}\exp(x)}$.

Elektrisk LR-krets

Endringen i strømmen i en LR-krets etter at strømmen er slått på, er beskrevet av en eksponentialfunksjon.^[29] En LR-krets er sammensatt av en strømkilde, en bryter, en elektrisk motstand og en spole. Spenningsfallet over motstanden er lik ${\displaystyle RI}$, når ${\displaystyle R}$ er størrelsen på motstanden og ${\displaystyle I}$ er strømstyrken. Over spolen er spenningsfallet ${\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}}$, der ${\displaystyle L}$ er selvinduktansen og ${\displaystyle {\frac {dI}{dt}}}$ er endringen i strømstyrke med tid. Dersom strømkilden gir en konstant spenning ${\displaystyle V_{0}}$, så er spenningsbalansen over kretsen

${\displaystyle V_{0}=RI+L{\frac {dI}{dt}}}$

Når strømmen blir slått på ved tid ${\displaystyle t=0}$, så er strømstyrken ved et senere tidspunkt gitt ved

${\displaystyle I={\frac {V_{0}}{R}}(1-e^{-{\frac {L}{R}}t})}$

Størrelsen ${\displaystyle L/R}$ kalles tidskonstanten.

Dempede svingninger

Eksponentialfunksjonen inngår i mange matematiske uttrykk som beskriver svingninger med vekst eller demping.^[30] Demping kan for eksempel opptre ved mekaniske svingninger til en masse utsatt for tyngdekraften, en fjørkraft og en dempende friksjonskraft og også ved elektriske svingninger i en krets som inneholder en elektrisk motstand, en spole og en kondensator. Formen på svingningene vil avhenge av forholdet mellom de drivende og de dempende kreftene i systemet. En skiller mellom tre typer demping:

Underkritisk demping opptrer når den dempende kraften er svak relativt til de drivende kreftene. Svingningene kan beskrives med uttrykk på formen

${\displaystyle u=a_{1}e^{-b_{1}t}\sin(c_{1}t+d_{1})}$

Overkritisk demping opptrer når dempingen er sterk relativt til de drivende kreftene:

${\displaystyle u=a_{2}e^{-b_{2}t}+c_{2}e^{-d_{2}t}}$

Kritisk demping opptrer når den dempende kraften og de drivende kreftene balanserer hverandre:

${\displaystyle u=(a_{3}+b_{3}t)e^{-c_{3}t}}$

Koeffisientene i ligningene ${\displaystyle a_{1},b_{1},...}$ vil avhenge av parametre i problembeskrivelsen og av initialtilstanden til systemet. Bare ved underkritisk demping vil en ha reelle svingninger i systemet.

Integraltransformasjer

Integraltransformasjoner av funksjoner spiller en vesentlig rolle i løsning av mange problemstillinger i matematikk. Flere typer transformasjoner kan uttrykkes ved hjelp av eksponetialfunksjonen som kjerne i integralet.^[31]

Laplacetransformasjonen til en relle funksjon ${\displaystyle \phi =\phi (t)}$ er definert ved

${\displaystyle L(\phi )=\int _{-\infty }^{\infty }\phi (t)e^{-st}dt}$

Definisjonen forutsetter at funksjonen ${\displaystyle \phi }$ har nedtil begrenset støtte, det vil si at funksjonen er null for alle argument under en gitt verdi. Laplacetransformasjonen er en analytisk funksjon av den komplekse variablen ${\displaystyle s}$.

Fouriertransformasjonen til en reell funksjon er definert ved

${\displaystyle F(\phi )=\int _{-\infty }^{\infty }\phi (t)e^{-2\pi ist}dt}$

Anvendelse av eksponentialmatriser

Matrisefunksjonen kan brukes til å uttrykke løsningen av et førsteordens lineært system av ordinære differensialligninger, på formen^[24]

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=Mv}$

I ligningen er ${\displaystyle v=v(t)}$ en vektor av ukjente funksjoner, og ${\displaystyle t}$ er en skalar variabel. Matrisen ${\displaystyle M}$ er kvadratisk og uavhengig av ${\displaystyle t}$. Løsningen kan skrives som

${\displaystyle v(t)=v_{0}e^{Mt}}$,

der ${\displaystyle v_{0}}$ er en konstant vektor. Eksponentialmatrisen kan brukes til å vise at løsningen er entydig for alle reelle verdier av ${\displaystyle t}$.

Anvendelser av eksponentialoperatoren

Eksponentialoperatoren brukes i flere sammenhenger for å forenkle skrivemåten for en taylorrekke til en analytisk funksjon ${\displaystyle F}$:^[32]

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x+a)&=F(x)+{a \over 1!}{dF(x) \over dx}+{a^{2} \over 2!}{d^{2}F(x) \over dx^{2}}+{a^{3} \over 3!}{d^{3}F(x) \over dx^{3}}+\cdots \\[8pt]&=e^{aT}F(x)\end{aligned}}}$

Denne formen for taylorutvikling kan også være utgangspunktet for å definere operatorer som elementer i en Lie-gruppe. Lie-grupper kan brukes for å karakterisere invariante egenskaper til tensorer og har anvendelser i mange greiner av teoretisk dynamikk, blant annet i kvantemekanikk.^[33] Ligningen over tolkes da som å definere en kontinuerlig klasse av operatorer

${\displaystyle g(a)=e^{aT}.}$

Hver verdi av ${\displaystyle a}$ definerer en ny operator ${\displaystyle g}$, som transformerer funksjonen ${\displaystyle F(x)}$ til funksjonen ${\displaystyle F(x+a)}$. Operatoren ${\displaystyle T}$ sies å være generatoren i gruppen. Identitetsoperatoren er ${\displaystyle g(0)}$ og tilsvarer ingen transformasjon. To påfølgende operasjoner danner en ny operator, med same egenskap som eksponentialfunksjonen:

${\displaystyle g(a)g(b)=e^{aX}e^{bX}=e^{(a+b)X}=g(a+b)}$

I tillegg har hvert element ${\displaystyle g(a)}$ en invers ${\displaystyle g(-a)}$, da ${\displaystyle g(a)g(-a)=1}$. Tilsammen gjør dette at operatorene ${\displaystyle g}$ danner en Lie-gruppe.

Historie

Den moderne notasjonen for potens ble innført av René Descartes (1596-1650) i verket La géométrie (Paris, 1637), der han brukte notasjonen ${\displaystyle a^{2}}$ for produktet ${\displaystyle (a\times a)}$.^[34] Descartes brukte notasjonen kun for heltallige eksponenter, og notasjonen spredde seg fort. John Wallis (1616-1703) og Isaac Newton (1642-1626) brukte begge notasjonen for å omfatte også positive og negative rasjonale tall.^[35]

Eksponentialfunksjonen fikk navnet fordi argumentet forekom i eksponenten, et ord laget fra latinsk «ex» = «ut» og perfektum partisipp «ponent» av verbet «ponere» = «å sette». Eksponenten er satt ut, slik at den kan sees. Navnet er altså basert på den typografiske formen og ikke matematiske egenskaper.^[36] Den engelske matematikeren Edmond Halley (1656-1741) har en tidlig referanse til ordet «eksponent» i 1695, i samband med studiet av logaritmer.^[34]

Under arbeid med å studere rentes rente innførte Jakob Bernoulli (1655-1705) i 1683 tallet^[37]

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}}$

nå kjent som eulertallet ${\displaystyle e}$. Jakob Bernoulli visste at grenseverdien eksisterte og var mindre enn 3, men hadde ikke ellers uttrykk for grenseverdien.

Den yngre broren Johann Bernoulli (1667-1748) studerte den reelle potensfunksjonen ${\displaystyle b^{x}}$ og også den mer kompliserte funksjonen ${\displaystyle x^{x}}$.^[37] Han innførte også den første utvidelsen av logaritmefunksjonen til å omfatte komplekse tall, i samband med studier av integraler.

Grensedefinisjonen

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {x}{n}})^{n}}$

ble først gitt at Leonhard Euler (1707-1783). Euler var også den første til å bruke bokstaven ${\displaystyle e}$ om konstanten 2,718..., antageligvis motivert av navnet «eksponentialfunksjonen».^[38] Bokstaven ${\displaystyle e}$ forekommer i et upublisert manuskript fra 1727 eller 1728, men dette manuskriptet ble først gitt ut i 1868.^[39] I 1736 bruker Euler bokstaven ${\displaystyle e}$ i Mechanica, og han fortsatte å bruke notasjonen i senere verker. Euler oppdaget potensrekkeutviklingen av eksponentialfunksjonen og utvidet også eksponentialfunksjonen til å omfatte komplekse argument.^[40]

Eulers formel ble publisert i 1748.

En full forståelse av sammenhengen mellom den komplekse eksponentialfunksjonen og den tilsvarende logaritmefunksjonen kom først gradvis på 1800-tallet, samen med en forståelse av flertydigheten til komplekse funksjoner.^[40]

Referanser

Litteratur

• W. Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis. Auckland: McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-085613-3. 
• G. Thomas, R. Finney (1995). Calculus and Analytic Geometry (5th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst (link)
• R.V Churchill, J.W. Brown, R.F. Verhey (1974). Complex variables and applications. Tokyo: McGraw-Hill Kogakusha. ISBN 0-07-010855-2. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
• C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3.