Begrenset operator

Innenfor matematikk er en begrenset operator er en lineær operator en transformasjon mellom to normerte rom der forholdet mellom vektoren og avbildningen av denne er oppad begrenset av en konstant.

Begrensede lineære operatorer fra et vektorrom til skalarkroppen det er definert over kalles for funksjonaler, og rommet av disse kalles for dualrommet til V. Begrensede lineære operatorer som er relativt kompakte kalles for kompakte operatorer.

En begrenset operator er generelt ikke en begrenset funksjon.

Definisjon

La ${\displaystyle V}$ og ${\displaystyle W}$ være to normere rom med norm gitt ved henholdsvis ${\displaystyle ||\cdot ||_{V}}$ og ${\displaystyle ||\cdot ||_{W}}$. En lineær operator ${\displaystyle A:V\to W}$ er begrenset dersom det finnes en konstant ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ slik at

${\displaystyle ||A(v)||_{w}\leq M||v||_{V}}$

for alle vektorer ${\displaystyle v\in V}$.^[1]

Den minste verdien M som dette er sant for, benevnt ${\displaystyle ||A||}$ og definert som

${\displaystyle ||A||=\operatorname {sup} \{{\frac {||A(v)||_{W}}{||v||_{V}}}:v\neq 0\}}$

der ${\displaystyle \operatorname {sup} }$ betegner supremum, kalles for operatornormen til A.^[1]

Rommet av begrensede operatorer fra ${\displaystyle V}$ til ${\displaystyle W}$ benevnes videre for ${\displaystyle B(V,W)}$, og ${\displaystyle B(V)}$ dersom ${\displaystyle V=W}$ i denne teksten.

Egenskaper

Kontinuitet

For en lineær operator mellom to normerte rom, er følgende ekvivalent:

1. A er en begrenset operator
2. A er uniformt kontinuerlig
3. A er kontinuerlig i 0.^[2]

Dette impliserer at hvis én av disse gjelder, så gjelder også de andre (f.eks. hvis A er begrenset, er den også både uniformt kontinuerlig og kontinuerlig i 0).

Kompletthet

Dersom V og W er normerte rom, og W er komplett, er også rommet ${\displaystyle B(V,W)}$ komplett.^[2]

Referanser

Litteratur

• Tom L. Lindstrøm (2018). Spaces: An Introduction to Real Analysis. Pure and Applied Undergraduate Texts. American Mathematical Society. ISBN 978-1-470-44062-6.