Analytisk geometri

Analytisk geometri eller koordinatgeometri er en gren av geometri der geometriske figurer og objekt blir beskrevet ved hjelp av koordinater og der metoder fra algebra og matematisk analyse anvendes for å løse problemer.^[1]

Analytisk geometri danner grunnlaget for moderne geometri, inkludert retninger som algebraisk geometri og differensialgeometri. Det er også mye brukt som verktøy i andre naturvitenskaper, som fysikk og astronomi. Metoder fra analytisk geometri har mange industrielle anvendelser, for eksempel i datagrafikk og alle former for geometrisk modellering.

Vanligvis studeres i analytisk geometri det todimensjonale planet eller det tredimensjonale rommet, i en euklidsk geometri. Hvert punkt er definert med et ordnet sett av tall, kalt koordinater. Geometriske objekt som linjer, kurver og plan blir definert ved ligninger som gir relasjoner mellom koordinatene. Til å beskrive en orientert lengde brukes en vektor.

I motsetning til analytisk geometri brukes i syntetisk geometri ikke koordinater, men problemstillinger løses ved logiske resonnement og konstruksjon med passer og linjal.

Som grunnlegger av den analytiske geometri regnes René Descartes med Discours de la méthode (1637).^[2] Også Pierre de Fermat ga tidlig viktige bidrag til fagområdet.

Punkt og koordinater

I analytisk geometri er hvert punkt i planet $\mathbf {R} ^{2}$ definert ved to koordinater, mens et punkt i rommet er gitt ved tre koordinater. Verdiene til koordinatene vil avhenge av valg av koordinatsystem og definisjon av origo og koordinatakser. Flere alternative koordinatsystem er i bruk, og avsnittet omtaler de vanligste systemene.^[3]

Kartesiske koordinater

Utdypende artikkel: Kartesisk koordinatsystem

Definisjon av punkt i et kartesisk koordinatsystem i planet

Det vanligste koordinatsystemet er et kartesisk system definert med to eller tre akser som står vinkelrett på hverandre. Koordinatene til et punkt blir bestemt ved projeksjoner ned på koordinataksene. Et vilkårlig punkt i planet betegnes ofte $(x,y)$ og et punkt i rommet $(x,y,z)$ .

Standardbasisen i det kartesiske koordinatsystemet for $\mathbf {R} ^{3}$ er definert ved

{\begin{alignedat}{2}\mathbf {i} &=(1,0,0)\\\mathbf {j} &=(0,1,0)\\\mathbf {k} &=(0,0,1).\end{alignedat}}

På vektorform kan ligningen for et vilkårlig punkt da skrives

\mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} .

Polarkoordinater for planet

Utdypende artikkel: Polarkoordinatsystem

Polarkoordinatene $(r,\theta )$ til et punkt i planet er definert ved avstanden $r$ fra origo til punktet, samt vinkelen $\theta$ som forbindelseslinjen mellom punktet og origo danner med en gitt referanselinje gjennom origo.

Dersom referanselinjen er $x$ -aksen i et kartesisk koordinatsystem, så er sammenhengen mellom de to systemene gitt ved

{\begin{alignedat}{2}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=\arctan({\frac {y}{x}})\end{alignedat}}

Noen plane kurver uttrykkes enklest i polarform, for eksempel vil den følgende ligningen definere en kurve kalt Arkimedes spiral for vilkårlige parametre $a$ og $b$ :

r=a{\theta }+b.

Polarkoordinater kan generalisere til rommet i form av sylinderkoordinater eller sfæriske koordinater.

Sylinderkoordinater

Utdypende artikkel: Sylinderkoordinatsystem

Et punkt i rommet kan i sylinderkoordinater defineres som $(r,\theta ,z)$ . Definisjonen av $r$ og $\theta$ er tilsvarende som for polarkoordinater, men nå basert på projeksjonen av forbindelseslinjen mellom punktet og origo ned på et referanseplan. Den tredje koordinaten $z$ er høyden fra referanseplanet til punktet.

Dersom referanseplanet er det kartesiske $(x,y)$ -planet, så er sammenhengen mellom de to koordinatsystemene gitt ved

{\begin{alignedat}{2}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\z&=z\end{alignedat}}

Kulekoordinater

Utdypende artikkel: Kulekoordinater

I kulekoordinater, også kalt sfæriske koordinater, kan et punkt defineres ved hjelp av tre koordinater $(r,\theta ,\psi )$ . Nå er $r$ avstanden fra punktet til origo. Vinkelen $\theta$ er vinkelen mellom projeksjonen av forbindelseslinjen og den horisontale aksen. Forbindelseslinjen danner vinkelen $\psi$ med $z$ -aksen.

Vektorer

Utdypende artikkel: Vektor (matematikk)

Et orientert linjestykke kan i analytisk geometri defineres som en vektor, basert på den valgte basisen i koordinatsystemet. Vektorer kan adderes ved å legge sammen koordinatene:

\mathbf {v} +\mathbf {u} =(v_{1}+u_{1},v_{2}+u_{2},v_{3}+u_{3})\,

Lengden av en vektor skrives ofte som $|\mathbf {v} |$ og er definert ved

|\mathbf {v} |={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}}\,

To vektorer står normalt på hverandre dersom indreproduktet mellom de to vektorene er lik null.

Linjer, kurver og plan

Utdypende artikler: Linje, Kurve og Plan (matematikk)

I analytisk geometri vil ligninger som involverer koordinatene kunne definere delmengder av punkt i planet eller rommet. Ligninger kan dermed brukes til å definere geometriske objekt som linjer, kurver og plan.

Ligningen for en rett linje kan i kartesiske koordinater uttrykkes på flere ulike måter, for eksempel i vektorform:

\mathbf {r} (t)=\mathbf {r_{0}} +t\mathbf {v} .

En viktig familie av plane kurver er kjeglesnitt, som inkluderer ellipser, hyperbler, parabler og sirkelen. Alle kurvene kan beskrives i et kartesisk koordinatsystem av en ligningen på formen

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0

Et plan gjennom et punkt $\mathbf {r_{0}}$ og normalt på vektoren $\mathbf {n}$ kan defineres ved ligningen

(\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} )\cdot \mathbf {n} =0.

Skifte av koordinatsystem

Ved skifte mellom alternative koordinatsystemer spiller lineær algebra en viktig rolle.

Referanser

^ E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6.
^ C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3.
^ G.B. Thomas, R.L. Finney: Calculus and analytical geometry, s.647ff