Symmetrische tensor

In wiskunde, bedoelt men met symmetrische tensor een tensor die invariant is onder permutatie van zijn indices. Een tensor van orde r is dus symmetrisch indien

T i 1 i 2 … i r = T i σ 1 i σ 2 … i σ r {\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}}

voor elke permutatie σ van de getallen {1,2,...,r}.

Symmetrisatie

Men kan van elke tensor een gesymmetriseerde versie construeren, als volgt:

T ( i 1 i 2 … i r ) = 1 r ! ∑ σ ∈ S r T i σ 1 i σ 2 … i σ r . {\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\dots i_{r})}={\frac {1}{r!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{r}}T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.}

In woorden: neem het gemiddelde van alle tensoren, bekomen door permutatie van twee indices van de oorspronkelijke tensor. De bekomen tensor T ( i 1 i 2 … i r ) {\displaystyle T_{(i_{1}i_{2}\dots i_{r})}} noteert men ook wel als Sym T {\displaystyle \operatorname {Sym} \,T} . Voor een symmetrische tensor is dus

Sym T = T {\displaystyle \operatorname {Sym} \,T=T}

Voorbeelden

Veel tensoren die optreden in de natuurkunde zijn voor te stellen als symmetrische tensoren/tensorvelden. Voorbeelden zijn: mechanische spanning in een materiaal, anisotrope rek, enzovoort.

Ook onder de tensoren die voorkomen in de formulering van de algemene relativiteitstheorie zijn er veel symmetrisch: bijvoorbeeld de Einstein-tensor en de metriek.

Zie ook